График функции y = (3*x^3-2*x^2+x-1)/(x^3+4*x^2-2*x+7)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉
Решение
Вы ввели
[src]
3 2
3*x - 2*x + x - 1
f(x) = -------------------
3 2
x + 4*x - 2*x + 7
$$f{\left (x \right )} = \frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4.73467617872589$$
$$x_{1} = -4.73467617872589$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5}{81 \sqrt[3]{\frac{205}{1458} + \frac{5 \sqrt{21}}{162}}} + \frac{2}{9} + \sqrt[3]{\frac{205}{1458} + \frac{5 \sqrt{21}}{162}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.783894293686949$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5}{81 \sqrt[3]{\frac{205}{1458} + \frac{5 \sqrt{21}}{162}}} + \frac{2}{9} + \sqrt[3]{\frac{205}{1458} + \frac{5 \sqrt{21}}{162}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.783894293686949$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1\right) \left(- 3 x^{2} - 8 x + 2\right)}{\left(- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7\right)^{2}} + \frac{9 x^{2} - 4 x + 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1\right) \left(- 3 x^{2} - 8 x + 2\right)}{\left(- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7\right)^{2}} + \frac{9 x^{2} - 4 x + 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} \left(18 x - \frac{2 \left(3 x + 4\right) \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} + \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right)^{2} \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{\left(x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right) \left(9 x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.151869161703981$$
$$x_{2} = 1.31750716370662$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4.73467617872589$$
$$\lim_{x \to -4.73467617872589^-}\left(\frac{1}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} \left(18 x - \frac{2 \left(3 x + 4\right) \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} + \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right)^{2} \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{\left(x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right) \left(9 x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} - 4\right)\right) = 1.92687846420253 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to -4.73467617872589^+}\left(\frac{1}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} \left(18 x - \frac{2 \left(3 x + 4\right) \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} + \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right)^{2} \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{\left(x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right) \left(9 x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} - 4\right)\right) = 1.92687846420253 \cdot 10^{47}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} \left(18 x - \frac{2 \left(3 x + 4\right) \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} + \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right)^{2} \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{\left(x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right) \left(9 x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.151869161703981$$
$$x_{2} = 1.31750716370662$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4.73467617872589$$
$$\lim_{x \to -4.73467617872589^-}\left(\frac{1}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} \left(18 x - \frac{2 \left(3 x + 4\right) \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} + \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right)^{2} \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{\left(x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right) \left(9 x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} - 4\right)\right) = 1.92687846420253 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to -4.73467617872589^+}\left(\frac{1}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} \left(18 x - \frac{2 \left(3 x + 4\right) \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} + \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right)^{2} \left(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1\right)}{\left(x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 8 x - 2\right) \left(9 x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 7} - 4\right)\right) = 1.92687846420253 \cdot 10^{47}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0.151869161703981, 1.31750716370662]
Выпуклая на промежутках
(-oo, 0.151869161703981] U [1.31750716370662, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -4.73467617872589$$
$$x_{1} = -4.73467617872589$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3*x^3 - 2*x^2 + x - 1)/(x^3 + 4*x^2 - 2*x + 7), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{x \left(- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{x \left(- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{x \left(- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{x \left(- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = \frac{- 3 x^{3} - 2 x^{2} - x - 1}{- x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 7}$$
- Нет
$$\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = - \frac{- 3 x^{3} - 2 x^{2} - x - 1}{- x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 7}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = \frac{- 3 x^{3} - 2 x^{2} - x - 1}{- x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 7}$$
- Нет
$$\frac{x + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1}{- 2 x + x^{3} + 4 x^{2} + 7} = - \frac{- 3 x^{3} - 2 x^{2} - x - 1}{- x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 7}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной