График функции y = (1/2)^(1/(cos(x)-1))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

           -1     
        ----------
        cos(x) - 1
f(x) = 2          

$$f{\left (x \right )} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}$$

Область определения функции

[TeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1/2)^(1/(cos(x) - 1)).
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{-1 + \cos{\left (0 \right )}}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, (1/2)^±oo)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} \log{\left (2 \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

       ___ 
(pi, \/ 2 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi]

Вертикальные асимптоты

[TeX]

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}$$

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1/2)^(1/(cos(x) - 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} 2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} 2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}$$
- Да
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = - 2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной