График функции y = (1/2)^(1/(cos(x)-1))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           -1     
        ----------
        cos(x) - 1
f(x) = 2          
f(x)=(12)1cos(x)1f{\left (x \right )} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}
График функции
0-25000-20000-15000-10000-500050001000015000200002500001e303
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(12)1cos(x)1=0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1/2)^(1/(cos(x) - 1)).
(12)11+cos(0)\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{-1 + \cos{\left (0 \right )}}}
Результат:
f(0)=(12)~f{\left (0 \right )} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\tilde{\infty}}
Точка:
(0, (1/2)^±oo)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
21cos(x)1log(2)(cos(x)1)2sin(x)=0- \frac{2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} \log{\left (2 \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=πx_{1} = \pi
Зн. экстремумы в точках:
       ___ 
(pi, \/ 2 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=πx_{1} = \pi
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[pi, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, pi]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(12)1cos(x)1=(12),12\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=(12),12y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}
limx(12)1cos(x)1=(12),12\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=(12),12y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\langle -\infty, - \frac{1}{2}\rangle}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1/2)^(1/(cos(x) - 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1x21cos(x)1)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} 2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1x21cos(x)1)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} 2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(12)1cos(x)1=(12)1cos(x)1\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}
- Да
(12)1cos(x)1=21cos(x)1\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}} = - 2^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}}
- Нет
значит, функция
является
чётной