График y = f(x) = 1+1/2*cos(x) (1 плюс 1 делить на 2 умножить на косинус от (х)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = 1+1/2*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           cos(x)
f(x) = 1 + ------
             2   
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 + cos(x)/2.
$$\frac{1}{2} \cos{\left (0 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{3}{2}$$
Точка:
(0, 3/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 3/2)

(pi, 1/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках
[0, pi]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[pi/2, 3*pi/2]

Выпуклая на промежутках
(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1\right) = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1\right) = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 + cos(x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1 = \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1$$
- Да
$$\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 1 = - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: