График функции y = sqrt(x^2-4*x+3)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
______________
/ 2
f(x) = \/ x - 4*x + 3
$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x^2 - 4*x + 3).
$$\sqrt{0^{2} - 0 + 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt{3}$$
Точка:
подставляем x = 0 в sqrt(x^2 - 4*x + 3).
$$\sqrt{0^{2} - 0 + 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt{3}$$
Точка:
(0, sqrt(3))
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(2, I)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} + 1}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} + 1}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x^2 - 4*x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = \sqrt{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
$$\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = - \sqrt{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = \sqrt{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
$$\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = - \sqrt{x^{2} + 4 x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной