График функции y = x^4-5*x^2+4

Вы ввели

        4      2    
f(x) = x  - 5*x  + 4

$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 5 x^{2} + 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 5*x^2 + 4.
$$0^{4} - 5 \cdot 0^{2} + 4$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$4 x^{3} - 10 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4)

    ____        
 -\/ 10         
(--------, -9/4)
    2           

   ____       
 \/ 10        
(------, -9/4)
   2          

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{10}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{10}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \cdot \left(6 x^{2} - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 5 x^{2} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 5 x^{2} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 5*x^2 + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = x^{4} - 5 x^{2} + 4$$
- Да
$$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = - x^{4} + 5 x^{2} - 4$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График