График функции y = x-1/3*x^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            2
           x 
f(x) = x - --
           3 
f(x)=x23+xf{\left (x \right )} = - \frac{x^{2}}{3} + x
График функции
0123456789-6-5-4-3-2-1-2020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x23+x=0- \frac{x^{2}}{3} + x = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - x^2/3.
0- 0
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x3+1=0- \frac{2 x}{3} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(3/2, 3/4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Убывает на промежутках
(-oo, 3/2]

Возрастает на промежутках
[3/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
23=0- \frac{2}{3} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x23+x)=\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{2}}{3} + x\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x23+x)=\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2}}{3} + x\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - x^2/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x23+x))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{x^{2}}{3} + x\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x23+x))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{x^{2}}{3} + x\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x23+x=x23x- \frac{x^{2}}{3} + x = - \frac{x^{2}}{3} - x
- Нет
x23+x=1x23x- \frac{x^{2}}{3} + x = - \frac{-1 x^{2}}{3} - - x
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной