График функции y = x^3+x^2-5*x+6

Вы ввели

        3    2          
f(x) = x  + x  - 5*x + 6

$$f{\left (x \right )} = - 5 x + x^{3} + x^{2} + 6$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 5 x + x^{3} + x^{2} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{337}}{2} + \frac{209}{2}} - \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{337}}{2} + \frac{209}{2}}} - \frac{1}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.17233112363$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + x^2 - 5*x + 6.
$$0^{3} + 0^{2} - 0 + 6$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:

(0, 6)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

       337 
(-5/3, ---)
        27 

(1, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{5}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -5/3] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-5/3, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 5 x + x^{3} + x^{2} + 6\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x + x^{3} + x^{2} + 6\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + x^2 - 5*x + 6, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 5 x + x^{3} + x^{2} + 6\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 5 x + x^{3} + x^{2} + 6\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 5 x + x^{3} + x^{2} + 6 = - x^{3} + x^{2} + 5 x + 6$$
- Нет
$$- 5 x + x^{3} + x^{2} + 6 = - -1 x^{3} - x^{2} - 5 x - 6$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной