Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная$$\frac{4^{- \frac{1}{x - 3}}}{\left(x - 3\right)^{3}} \left(-2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 3}\right) \log{\left (4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = \log{\left (2 \right )} + 3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{4^{- \frac{1}{x - 3}}}{\left(x - 3\right)^{3}} \left(-2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 3}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4^{- \frac{1}{x - 3}}}{\left(x - 3\right)^{3}} \left(-2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 3}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = 0$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, log(2) + 3]
Выпуклая на промежутках
[log(2) + 3, oo)