График функции y = 4^(1/(3-x))+2

          1      
        -----    
        3 - x    
f(x) = 4      + 2

$$f{\left (x \right )} = 4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4^(1/(3 - x)) + 2.
$$4^{\frac{1}{- 0 + 3}} + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2^{\frac{2}{3}} + 2$$
Точка:

(0, 2 + 2^(2/3))

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{4^{\frac{1}{- x + 3}} \log{\left (4 \right )}}{\left(- x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4^{- \frac{1}{x - 3}}}{\left(x - 3\right)^{3}} \left(-2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 3}\right) \log{\left (4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \log{\left (2 \right )} + 3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$

$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{4^{- \frac{1}{x - 3}}}{\left(x - 3\right)^{3}} \left(-2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 3}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4^{- \frac{1}{x - 3}}}{\left(x - 3\right)^{3}} \left(-2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 3}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = 0$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, log(2) + 3]

Выпуклая на промежутках

[log(2) + 3, oo)

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4^(1/(3 - x)) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2 = 4^{\frac{1}{x + 3}} + 2$$
- Нет
$$4^{\frac{1}{- x + 3}} + 2 = - 4^{\frac{1}{x + 3}} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной