Точки, в которых функция точно неопределена: $$x_{1} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$4^{1 \cdot \frac{1}{3 - x}} + 2 = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 4^(1/(3 - x)) + 2. $$4^{1 \cdot \frac{1}{3 - 0}} + 2$$ Результат: $$f{\left(0 \right)} = 2^{\frac{2}{3}} + 2$$ Точка:
(0, 2 + 2^(2/3))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$ первая производная $$\frac{4^{\frac{1}{3 - x}} \log{\left(4 \right)}}{\left(3 - x\right)^{2}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$ вторая производная $$\frac{4^{- \frac{1}{x - 3}} \left(-2 + \frac{\log{\left(4 \right)}}{x - 3}\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x - 3\right)^{3}} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = \log{\left(2 \right)} + 3$$ Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: $$x_{1} = 3$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках $$\left(-\infty, \log{\left(2 \right)} + 3\right]$$ Выпуклая на промежутках $$\left[\log{\left(2 \right)} + 3, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть: $$x_{1} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(4^{1 \cdot \frac{1}{3 - x}} + 2\right) = 3$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = 3$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(4^{1 \cdot \frac{1}{3 - x}} + 2\right) = 3$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: $$y = 3$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4^(1/(3 - x)) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4^{1 \cdot \frac{1}{3 - x}} + 2}{x}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{1 \cdot \frac{1}{3 - x}} + 2}{x}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$4^{1 \cdot \frac{1}{3 - x}} + 2 = 4^{\frac{1}{x + 3}} + 2$$ - Нет $$4^{1 \cdot \frac{1}{3 - x}} + 2 = - 4^{\frac{1}{x + 3}} - 2$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной