График функции y = (x-2)*(x+3)*(x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = (x - 2)*(x + 3)*(x - 1)
f(x)=(x2)(x+3)(x1)f{\left (x \right )} = \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)
График функции
-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0-2020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(x2)(x+3)(x1)=0\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Численное решение
x1=3x_{1} = -3
x2=2x_{2} = 2
x3=1x_{3} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 2)*(x + 3))*(x - 1).
1(6)-1 \left(- 6\right)
Результат:
f(0)=6f{\left (0 \right )} = 6
Точка:
(0, 6)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(x2)(x+3)+(x1)(2x+1)=0\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=213x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}
x2=213x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}
Зн. экстремумы в точках:
    ____   /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 -\/ 21    |     \/ 21 | |     \/ 21 | |    \/ 21 | 
(--------, |-1 - ------|*|-2 - ------|*|3 - ------|)
    3      \       3   / \       3   / \      3   / 

   ____  /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 \/ 21   |     \/ 21 | |     \/ 21 | |    \/ 21 | 
(------, |-1 + ------|*|-2 + ------|*|3 + ------|)
   3     \       3   / \       3   / \      3   / 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=213x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}
Максимумы функции в точках:
x2=213x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3}
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(21)/3] U [sqrt(21)/3, oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(21)/3, sqrt(21)/3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
6x=06 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx((x2)(x+3)(x1))=\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx((x2)(x+3)(x1))=\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 2)*(x + 3))*(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x2)(x1)(x+3))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x2)(x1)(x+3))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(x2)(x+3)(x1)=(x2)(x1)(x+3)\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)
- Нет
(x2)(x+3)(x1)=(x2)(x1)(x+3)\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = - \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной