График функции y = (x-2)*(x+3)*(x-1)

Вы ввели

[LaTeX]

f(x) = (x - 2)*(x + 3)*(x - 1)

$$f{\left (x \right )} = \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

[LaTeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

[LaTeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 2)*(x + 3))*(x - 1).
$$-1 \left(- 6\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:

(0, 6)

Экстремумы функции

[LaTeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ____   /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 -\/ 21    |     \/ 21 | |     \/ 21 | |    \/ 21 | 
(--------, |-1 - ------|*|-2 - ------|*|3 - ------|)
    3      \       3   / \       3   / \      3   / 

   ____  /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 \/ 21   |     \/ 21 | |     \/ 21 | |    \/ 21 | 
(------, |-1 + ------|*|-2 + ------|*|3 + ------|)
   3     \       3   / \       3   / \      3   / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(21)/3] U [sqrt(21)/3, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(21)/3, sqrt(21)/3]

Точки перегибов

[LaTeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

[LaTeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[LaTeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 2)*(x + 3))*(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[LaTeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = - \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной