График функции y = (x-2)*(x+3)*(x-1)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = (x - 2)*(x + 3)*(x - 1)
$$f{\left (x \right )} = \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 2)*(x + 3))*(x - 1).
$$-1 \left(- 6\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:
подставляем x = 0 в ((x - 2)*(x + 3))*(x - 1).
$$-1 \left(- 6\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:
(0, 6)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
____ / ____\ / ____\ / ____\
-\/ 21 | \/ 21 | | \/ 21 | | \/ 21 |
(--------, |-1 - ------|*|-2 - ------|*|3 - ------|)
3 \ 3 / \ 3 / \ 3 / ____ / ____\ / ____\ / ____\ \/ 21 | \/ 21 | | \/ 21 | | \/ 21 | (------, |-1 + ------|*|-2 + ------|*|3 + ------|) 3 \ 3 / \ 3 / \ 3 /
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(21)/3] U [sqrt(21)/3, oo)
Возрастает на промежутках
[-sqrt(21)/3, sqrt(21)/3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 2)*(x + 3))*(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = - \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
$$\left(x - 2\right) \left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = - \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right) \left(- x + 3\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной