График функции y = (x^3-3*x^2+12*x-8)/(3*x^2)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
        3      2           
       x  - 3*x  + 12*x - 8
f(x) = --------------------
                  2        
               3*x         
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{3 x^{2}} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right)$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{3 x^{2}} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{27 + 54 \sqrt{7}} + 1 + \frac{9}{\sqrt[3]{27 + 54 \sqrt{7}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.778977462620142$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 3*x^2 + 12*x - 8)/(3*x^2).
$$\frac{1}{3 \cdot 0^{2}} \left(-8 + 0^{3} - 0 + 0 \cdot 12\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{3 x^{2}} \left(3 x^{2} - 6 x + 12\right) - \frac{1}{3 x^{3}} \left(2 \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2}\right) - 16\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -7/2)

(2, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -4$$
Убывает на промежутках
(-oo, -4]

Возрастает на промежутках
[-4, oo)
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2 - \frac{1}{x} \left(4 x^{2} - 8 x + 16\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 16\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2 - \frac{1}{x} \left(4 x^{2} - 8 x + 16\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 16\right)\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2 - \frac{1}{x} \left(4 x^{2} - 8 x + 16\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 16\right)\right)\right) = -\infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 2]
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{3 x^{2}} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3 x^{2}} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 3*x^2 + 12*x - 8)/(3*x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}}{x} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right)\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}}{x} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right)\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{3}$$
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{3 x^{2}} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right) = \frac{1}{3 x^{2}} \left(- x^{3} - 3 x^{2} - 12 x - 8\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{3 x^{2}} \left(12 x + x^{3} - 3 x^{2} - 8\right) = - \frac{1}{3 x^{2}} \left(- x^{3} - 3 x^{2} - 12 x - 8\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной