График функции y = cot(2*x-pi/3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /      pi\
f(x) = cot|2*x - --|
          \      3 /
f(x)=cot(2xπ3)f{\left(x \right)} = \cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}
График функции
0-70-60-50-40-30-20-10102030405060-250250
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cot(2xπ3)=0\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}
Численное решение
x1=65.7116463375865x_{1} = 65.7116463375865
x2=28.012534494509x_{2} = 28.012534494509
x3=72.5184304203644x_{3} = -72.5184304203644
x4=39.5317075576716x_{4} = -39.5317075576716
x5=23.8237442897226x_{5} = -23.8237442897226
x6=57.857664703612x_{6} = 57.857664703612
x7=26.4417381677141x_{7} = 26.4417381677141
x8=81.4196096055355x_{8} = 81.4196096055355
x9=66.2352451131848x_{9} = -66.2352451131848
x10=15.9697626557481x_{10} = -15.9697626557481
x11=43.720497762458x_{11} = 43.720497762458
x12=94.5095789954929x_{12} = -94.5095789954929
x13=41.1025038844665x_{13} = -41.1025038844665
x14=59.9520598060052x_{14} = -59.9520598060052
x15=48.4328867428426x_{15} = 48.4328867428426
x16=19.1113553093379x_{16} = -19.1113553093379
x17=6.02138591938044x_{17} = 6.02138591938044
x18=54.7160720500222x_{18} = 54.7160720500222
x19=44.2440965380563x_{19} = -44.2440965380563
x20=71.9948316447661x_{20} = 71.9948316447661
x21=81.9432083811338x_{21} = -81.9432083811338
x22=28.5361332701073x_{22} = -28.5361332701073
x23=90.8443875663049x_{23} = 90.8443875663049
x24=40.5789051088682x_{24} = 40.5789051088682
x25=37.4373124552784x_{25} = 37.4373124552784
x26=92.4151838930998x_{26} = 92.4151838930998
x27=62.5700536839967x_{27} = 62.5700536839967
x28=10.7337748997651x_{28} = 10.7337748997651
x29=4.45058959258554x_{29} = 4.45058959258554
x30=12.30457122656x_{30} = 12.30457122656
x31=97.6511716490827x_{31} = -97.6511716490827
x32=31.6777259236971x_{32} = -31.6777259236971
x33=3.40339204138894x_{33} = -3.40339204138894
x34=95.5567765466895x_{34} = 95.5567765466895
x35=52.0980781720307x_{35} = -52.0980781720307
x36=33.248522250492x_{36} = -33.248522250492
x37=86.1319985859202x_{37} = 86.1319985859202
x38=42.1497014356631x_{38} = 42.1497014356631
x39=6.54498469497874x_{39} = -6.54498469497874
x40=11.2573736753634x_{40} = -11.2573736753634
x41=83.5140047079287x_{41} = -83.5140047079287
x42=46.8620904160477x_{42} = 46.8620904160477
x43=13.8753675533549x_{43} = 13.8753675533549
x44=91.3679863419031x_{44} = -91.3679863419031
x45=96.0803753222878x_{45} = -96.0803753222878
x46=93.9859802198946x_{46} = 93.9859802198946
x47=100.269165527074x_{47} = 100.269165527074
x48=17.540558982543x_{48} = -17.540558982543
x49=74.0892267471593x_{49} = -74.0892267471593
x50=14.3989663289532x_{50} = -14.3989663289532
x51=1.83259571459405x_{51} = -1.83259571459405
x52=68.8532389911763x_{52} = 68.8532389911763
x53=15.4461638801498x_{53} = 15.4461638801498
x54=35.8665161284835x_{54} = 35.8665161284835
x55=32.7249234748937x_{55} = 32.7249234748937
x56=63.093652459595x_{56} = -63.093652459595
x57=30.1069295969022x_{57} = -30.1069295969022
x58=47.3856891916461x_{58} = -47.3856891916461
x59=76.7072206251508x_{59} = 76.7072206251508
x60=50.5272818452358x_{60} = -50.5272818452358
x61=64.1408500107916x_{61} = 64.1408500107916
x62=53.6688744988256x_{62} = -53.6688744988256
x63=78.2780169519457x_{63} = 78.2780169519457
x64=56.2868683768171x_{64} = 56.2868683768171
x65=85.0848010347236x_{65} = -85.0848010347236
x66=73.565627971561x_{66} = 73.565627971561
x67=22.2529479629277x_{67} = -22.2529479629277
x68=0.261799387799149x_{68} = -0.261799387799149
x69=34.2957198016886x_{69} = 34.2957198016886
x70=29.5833308213039x_{70} = 29.5833308213039
x71=79.8488132787406x_{71} = 79.8488132787406
x72=50.0036830696375x_{72} = 50.0036830696375
x73=70.4240353179712x_{73} = 70.4240353179712
x74=24.8709418409192x_{74} = 24.8709418409192
x75=59.4284610304069x_{75} = 59.4284610304069
x76=55.2396708256205x_{76} = -55.2396708256205
x77=98.6983692002793x_{77} = 98.6983692002793
x78=77.2308194007491x_{78} = -77.2308194007491
x79=58.3812634792103x_{79} = -58.3812634792103
x80=7.59218224617533x_{80} = 7.59218224617533
x81=84.5612022591253x_{81} = 84.5612022591253
x82=51.5744793964324x_{82} = 51.5744793964324
x83=9.68657734856853x_{83} = -9.68657734856853
x84=20.1585528605345x_{84} = 20.1585528605345
x85=89.7971900151083x_{85} = -89.7971900151083
x86=37.9609112308767x_{86} = -37.9609112308767
x87=75.6600230739542x_{87} = -75.6600230739542
x88=99.2219679758776x_{88} = -99.2219679758776
x89=8.11578102177363x_{89} = -8.11578102177363
x90=36.3901149040818x_{90} = -36.3901149040818
x91=45.8148928648512x_{91} = -45.8148928648512
x92=88.2263936883134x_{92} = -88.2263936883134
x93=80.3724120543389x_{93} = -80.3724120543389
x94=69.3768377667746x_{94} = -69.3768377667746
x95=61.5228561328001x_{95} = -61.5228561328001
x96=18.5877565337396x_{96} = 18.5877565337396
x97=67.8060414399797x_{97} = -67.8060414399797
x98=21.7293491873294x_{98} = 21.7293491873294
x99=87.7027949127151x_{99} = 87.7027949127151
x100=2.87979326579064x_{100} = 2.87979326579064
x101=25.3945406165175x_{101} = -25.3945406165175
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(2*x - pi/3).
cot(π3+20)\cot{\left(- \frac{\pi}{3} + 2 \cdot 0 \right)}
Результат:
f(0)=33f{\left(0 \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
Точка:
(0, -sqrt(3)/3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2cot2(2xπ3)2=0- 2 \cot^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} - 2 = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
8(tan2(2x+π6)+1)tan(2x+π6)=0- 8 \left(\tan^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,π12]\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right]
Выпуклая на промежутках
[π12,)\left[- \frac{\pi}{12}, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxcot(2xπ3)=,\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
limxcot(2xπ3)=,\lim_{x \to \infty} \cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(2*x - pi/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(cot(2xπ3)x)=limx(cot(2xπ3)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(cot(2xπ3)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right)
limx(cot(2xπ3)x)=limx(cot(2xπ3)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(cot(2xπ3)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cot(2xπ3)=cot(2x+π3)\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = - \cot{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}
- Нет
cot(2xπ3)=cot(2x+π3)\cot{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = \cot{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = cot(2*x-pi/3) /media/krcore-image-pods/hash/xy/4/5e/c21a891252845823925a52989789e.png