График функции y = (x-1)^2*(x+2)^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
              2        3
f(x) = (x - 1) *(x + 2) 
f(x)=(x+2)3(x1)2f{\left(x \right)} = \left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(x+2)3(x1)2=0\left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = -2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1*1)^2*(x + 2)^3.
(0+2)3((1)1+0)2\left(0 + 2\right)^{3} \left(\left(-1\right) 1 + 0\right)^{2}
Результат:
f(0)=8f{\left(0 \right)} = 8
Точка:
(0, 8)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
(x+2)3(2x2)+3(x+2)2(x1)2=0\left(x + 2\right)^{3} \cdot \left(2 x - 2\right) + 3 \left(x + 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
x2=15x_{2} = - \frac{1}{5}
x3=1x_{3} = 1
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 0)

                     2 
       729*(-1/5 - 1)  
(-1/5, ---------------)
             125       

              2 
(1, 27*(1 - 1) )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = 1
Максимумы функции в точках:
x1=15x_{1} = - \frac{1}{5}
Убывает на промежутках
(,15][1,)\left(-\infty, - \frac{1}{5}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[15,1]\left[- \frac{1}{5}, 1\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(x+2)(3(x1)2+6(x1)(x+2)+(x+2)2)=02 \left(x + 2\right) \left(3 \left(x - 1\right)^{2} + 6 \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 2\right)^{2}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
x2=15+3610x_{2} = - \frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{6}}{10}
x3=361015x_{3} = - \frac{3 \sqrt{6}}{10} - \frac{1}{5}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2,361015][15+3610,)\left[-2, - \frac{3 \sqrt{6}}{10} - \frac{1}{5}\right] \cup \left[- \frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{6}}{10}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,2][361015,15+3610]\left(-\infty, -2\right] \cup \left[- \frac{3 \sqrt{6}}{10} - \frac{1}{5}, - \frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{6}}{10}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx((x+2)3(x1)2)=\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx((x+2)3(x1)2)=\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*1)^2*(x + 2)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx((x+2)3(x1)2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx((x+2)3(x1)2x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(x+2)3(x1)2=(2x)3(x1)2\left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2} = \left(2 - x\right)^{3} \left(- x - 1\right)^{2}
- Нет
(x+2)3(x1)2=(2x)3(x1)2\left(x + 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2} = - \left(2 - x\right)^{3} \left(- x - 1\right)^{2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x-1)^2*(x+2)^3 /media/krcore-image-pods/hash/xy/8/fe/58a8270abc8ae8c3b1b268a249ce4.png