График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (x+2)3(x−1)2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−2 x2=1 Численное решение x1=1 x2=−2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x - 1*1)^2*(x + 2)^3. (0+2)3((−1)1+0)2 Результат: f(0)=8 Точка:
(0, 8)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная (x+2)3⋅(2x−2)+3(x+2)2(x−1)2=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2 x2=−51 x3=1 Зн. экстремумы в точках:
(-2, 0)
2
729*(-1/5 - 1)
(-1/5, ---------------)
125
2
(1, 27*(1 - 1) )
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=1 Максимумы функции в точках: x1=−51 Убывает на промежутках (−∞,−51]∪[1,∞) Возрастает на промежутках [−51,1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 2(x+2)(3(x−1)2+6(x−1)(x+2)+(x+2)2)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2 x2=−51+1036 x3=−1036−51
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [−2,−1036−51]∪[−51+1036,∞) Выпуклая на промежутках (−∞,−2]∪[−1036−51,−51+1036]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim((x+2)3(x−1)2)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim((x+2)3(x−1)2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*1)^2*(x + 2)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x+2)3(x−1)2)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x(x+2)3(x−1)2)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: (x+2)3(x−1)2=(2−x)3(−x−1)2 - Нет (x+2)3(x−1)2=−(2−x)3(−x−1)2 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной