График функции y = (x-1)^2*(x+2)^3

              2        3
f(x) = (x - 1) *(x + 2) 

$$f{\left (x \right )} = \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1)^2*(x + 2)^3.
$$\left(-1\right)^{2} \cdot 2^{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 8$$
Точка:

(0, 8)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2} + \left(x + 2\right)^{3} \left(2 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 0)

       26244 
(-1/5, -----)
        3125 

(1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{1}{5}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1/5] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-1/5, 1]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(x + 2\right) \left(3 \left(x - 1\right)^{2} + 6 \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 2\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{6}}{10}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{6}}{10} - \frac{1}{5}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2, -3*sqrt(6)/10 - 1/5] U [-1/5 + 3*sqrt(6)/10, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2] U [-3*sqrt(6)/10 - 1/5, -1/5 + 3*sqrt(6)/10]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)^2*(x + 2)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3} = \left(- x - 1\right)^{2} \left(- x + 2\right)^{3}$$
- Нет
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{3} = - \left(- x - 1\right)^{2} \left(- x + 2\right)^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной