График функции y = x^2/(2-3*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           2  
          x   
f(x) = -------
       2 - 3*x
f(x)=x23x+2f{\left (x \right )} = \frac{x^{2}}{- 3 x + 2}
График функции
-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.5-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0.666666666666667x_{1} = 0.666666666666667
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x23x+2=0\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=9.85841562554107x_{2} = 9.85841562554 \cdot 10^{-7}
x3=8.43656474654107x_{3} = -8.43656474654 \cdot 10^{-7}
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/(2 - 3*x).
020+2\frac{0^{2}}{- 0 + 2}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3x2(3x+2)2+2x3x+2=0\frac{3 x^{2}}{\left(- 3 x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{- 3 x + 2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=43x_{2} = \frac{4}{3}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(4/3, -8/9)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Максимумы функции в точках:
x2=43x_{2} = \frac{4}{3}
Убывает на промежутках
[0, 4/3]

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [4/3, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
13x+2(18x2(3x+2)2+12x3x+2+2)=0\frac{1}{- 3 x + 2} \left(\frac{18 x^{2}}{\left(- 3 x + 2\right)^{2}} + \frac{12 x}{- 3 x + 2} + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0.666666666666667x_{1} = 0.666666666666667
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x23x+2)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- 3 x + 2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x23x+2)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- 3 x + 2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(2 - 3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x3x+2)=13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{- 3 x + 2}\right) = - \frac{1}{3}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=x3y = - \frac{x}{3}
limx(x3x+2)=13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{- 3 x + 2}\right) = - \frac{1}{3}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=x3y = - \frac{x}{3}
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x23x+2=x23x+2\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = \frac{x^{2}}{3 x + 2}
- Нет
x23x+2=x23x+2\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = - \frac{x^{2}}{3 x + 2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной