График функции y = x^2/(2-3*x)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2
x
f(x) = -------
2 - 3*x
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2}}{- 3 x + 2}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9.85841562554 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = -8.43656474654 \cdot 10^{-7}$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9.85841562554 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = -8.43656474654 \cdot 10^{-7}$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/(2 - 3*x).
$$\frac{0^{2}}{- 0 + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
подставляем x = 0 в x^2/(2 - 3*x).
$$\frac{0^{2}}{- 0 + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 x^{2}}{\left(- 3 x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{- 3 x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 x^{2}}{\left(- 3 x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{- 3 x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
(4/3, -8/9)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках
[0, 4/3]
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [4/3, oo)
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{- 3 x + 2} \left(\frac{18 x^{2}}{\left(- 3 x + 2\right)^{2}} + \frac{12 x}{- 3 x + 2} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{- 3 x + 2} \left(\frac{18 x^{2}}{\left(- 3 x + 2\right)^{2}} + \frac{12 x}{- 3 x + 2} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- 3 x + 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- 3 x + 2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- 3 x + 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- 3 x + 2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(2 - 3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{- 3 x + 2}\right) = - \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{- 3 x + 2}\right) = - \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{- 3 x + 2}\right) = - \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{- 3 x + 2}\right) = - \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - \frac{x}{3}$$
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = \frac{x^{2}}{3 x + 2}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = - \frac{x^{2}}{3 x + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = \frac{x^{2}}{3 x + 2}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{- 3 x + 2} = - \frac{x^{2}}{3 x + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной