График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\sqrt{x^{2} + 1} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sqrt(1 + x^2). $$\sqrt{0^{2} + 1}$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 1$$ Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$ Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{1} = 0$$ Максимумов у функции нет Убывает на промежутках
[0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} + 1} = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 1} = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(1 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 1}\right) = -1$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = - x$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: $$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{x^{2} + 1}$$ - Да $$\sqrt{x^{2} + 1} = - \sqrt{x^{2} + 1}$$ - Нет значит, функция является чётной