График функции y = sqrt(1+x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          ________
         /      2 
f(x) = \/  1 + x  
f(x)=x2+1f{\left (x \right )} = \sqrt{x^{2} + 1}
График функции
02468-8-6-4-2-1010020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+1=0\sqrt{x^{2} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(1 + x^2).
02+1\sqrt{0^{2} + 1}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
xx2+1=0\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
x2x2+1+1x2+1=0\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxx2+1=\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} + 1} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limxx2+1=\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 1} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(1 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xx2+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 1}\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = - x
limx(1xx2+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+1=x2+1\sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{x^{2} + 1}
- Да
x2+1=x2+1\sqrt{x^{2} + 1} = - \sqrt{x^{2} + 1}
- Нет
значит, функция
является
чётной