График функции y = (x^3-9*x^2-12*x+18)^(2/3)

                              2/3
       / 3      2            \   
f(x) = \x  - 9*x  - 12*x + 18/   

$$f{\left (x \right )} = \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{-972 + 27 \sqrt{901} i} - \frac{39}{\sqrt[3]{-972 + 27 \sqrt{901} i}}$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 9*x^2 - 12*x + 18)^(2/3).
$$\left(0^{3} - 0 - 0 + 18\right)^{\frac{2}{3}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3 \sqrt[3]{12}$$
Точка:

(0, 3*12^(1/3))

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x^{2} - 12 x - 8}{\sqrt[3]{- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3 + \sqrt{13}$$
$$x_{2} = - \sqrt{13} + 3$$
Зн. экстремумы в точках:

                                                                2/3 
             /                  3                             2\    
       ____  |      /      ____\         ____     /      ____\ |    
(3 + \/ 13, \-18 + \3 + \/ 13 /  - 12*\/ 13  - 9*\3 + \/ 13 / /   )

                                                                2/3 
             /                  3                 2            \    
       ____  |      /      ____\      /      ____\         ____|    
(3 - \/ 13, \-18 + \3 - \/ 13 /  - 9*\3 - \/ 13 /  + 12*\/ 13 /   )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{13} + 3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(13) + 3]

Возрастает на промежутках

[-sqrt(13) + 3, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 9*x^2 - 12*x + 18)^(2/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}}\right) = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = \left(- x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 18\right)^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
$$\left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = - \left(- x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 18\right)^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной