График функции y = (x^3-9*x^2-12*x+18)^(2/3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                              2/3
       / 3      2            \   
f(x) = \x  - 9*x  - 12*x + 18/   
f(x)=(12x+x39x2+18)23f{\left (x \right )} = \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}}
График функции
0123456789-110020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(12x+x39x2+18)23=0\left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=313972+27901i339972+27901i3x_{1} = 3 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{-972 + 27 \sqrt{901} i} - \frac{39}{\sqrt[3]{-972 + 27 \sqrt{901} i}}
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 9*x^2 - 12*x + 18)^(2/3).
(0300+18)23\left(0^{3} - 0 - 0 + 18\right)^{\frac{2}{3}}
Результат:
f(0)=3123f{\left (0 \right )} = 3 \sqrt[3]{12}
Точка:
(0, 3*12^(1/3))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x212x812x+x39x2+183=0\frac{2 x^{2} - 12 x - 8}{\sqrt[3]{- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3+13x_{1} = 3 + \sqrt{13}
x2=13+3x_{2} = - \sqrt{13} + 3
Зн. экстремумы в точках:
                                                                2/3 
             /                  3                             2\    
       ____  |      /      ____\         ____     /      ____\ |    
(3 + \/ 13, \-18 + \3 + \/ 13 /  - 12*\/ 13  - 9*\3 + \/ 13 / /   )

                                                                2/3 
             /                  3                 2            \    
       ____  |      /      ____\      /      ____\         ____|    
(3 - \/ 13, \-18 + \3 - \/ 13 /  - 9*\3 - \/ 13 /  + 12*\/ 13 /   )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x2=13+3x_{2} = - \sqrt{13} + 3
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(13) + 3]

Возрастает на промежутках
[-sqrt(13) + 3, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(12x+x39x2+18)23=(1)23\lim_{x \to -\infty} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=(1)23y = \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
limx(12x+x39x2+18)23=\lim_{x \to \infty} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 9*x^2 - 12*x + 18)^(2/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(12x+x39x2+18)23)=(1)23\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}}\right) = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=(1)23xy = - \infty \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} x
limx(1x(12x+x39x2+18)23)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(12x+x39x2+18)23=(x39x2+12x+18)23\left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = \left(- x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 18\right)^{\frac{2}{3}}
- Нет
(12x+x39x2+18)23=(x39x2+12x+18)23\left(- 12 x + x^{3} - 9 x^{2} + 18\right)^{\frac{2}{3}} = - \left(- x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 18\right)^{\frac{2}{3}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной