График функции y = (9+6*x-3*x^2)/(x^2-2*x+13)

Вы ввели

                    2
       9 + 6*x - 3*x 
f(x) = --------------
        2            
       x  - 2*x + 13 

$$f{\left (x \right )} = \frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 2 x + 13}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 2 x + 13} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (9 + 6*x - 3*x^2)/(x^2 - 2*x + 13).
$$\frac{- 0 + 0 \cdot 6 + 9}{0^{2} - 0 + 13}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{9}{13}$$
Точка:

(0, 9/13)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{- 6 x + 6}{x^{2} - 2 x + 13} + \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x + 13\right)^{2}} \left(- 2 x + 2\right) \left(- 3 x^{2} + 6 x + 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1]

Возрастает на промежутках

[1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 13} \left(\frac{24 \left(x - 1\right)^{2} \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 2 x + 13\right)^{2}} + \frac{24 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 13} - \frac{- 6 x^{2} + 12 x + 18}{x^{2} - 2 x + 13} - 6\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1] U [3, oo)

Выпуклая на промежутках

[-1, 3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 2 x + 13}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 2 x + 13}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -3$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (9 + 6*x - 3*x^2)/(x^2 - 2*x + 13), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x \left(x^{2} - 2 x + 13\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x \left(x^{2} - 2 x + 13\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 2 x + 13} = \frac{- 3 x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 2 x + 13}$$
- Нет
$$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 2 x + 13} = - \frac{- 3 x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} + 2 x + 13}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной