График функции y = 6*x^2-x^4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2    4
f(x) = 6*x  - x 
f(x)=x4+6x2f{\left (x \right )} = - x^{4} + 6 x^{2}
График функции
-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.5-2525
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x4+6x2=0- x^{4} + 6 x^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = - \sqrt{6}
x3=6x_{3} = \sqrt{6}
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=2.44948974278x_{2} = -2.44948974278
x3=2.44948974278x_{3} = 2.44948974278
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 6*x^2 - x^4.
60206 \cdot 0^{2} - 0
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x3+12x=0- 4 x^{3} + 12 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

    ___    
(-\/ 3, 9)

   ___    
(\/ 3, 9)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x3=0x_{3} = 0
Максимумы функции в точках:
x3=3x_{3} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(3)] U [0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [sqrt(3), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
12(x2+1)=012 \left(- x^{2} + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-1, 1]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -1] U [1, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x4+6x2)=\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x4+6x2)=\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6*x^2 - x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x4+6x2))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{4} + 6 x^{2}\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x4+6x2))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{4} + 6 x^{2}\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x4+6x2=x4+6x2- x^{4} + 6 x^{2} = - x^{4} + 6 x^{2}
- Да
x4+6x2=1x46x2- x^{4} + 6 x^{2} = - -1 x^{4} - 6 x^{2}
- Нет
значит, функция
является
чётной