График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: −x4+6x2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=−6 x3=6 Численное решение x1=0 x2=−2.44948974278 x3=2.44948974278
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 6*x^2 - x^4. 6⋅02−0 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −4x3+12x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=−3 x3=3 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___
(-\/ 3, 9)
___
(\/ 3, 9)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x3=0 Максимумы функции в точках: x3=−3 x3=3 Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(3)] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [sqrt(3), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 12(−x2+1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−1 x2=1
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[-1, 1]
Выпуклая на промежутках
(-oo, -1] U [1, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(−x4+6x2)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(−x4+6x2)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6*x^2 - x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(−x4+6x2))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(−x4+6x2))=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: −x4+6x2=−x4+6x2 - Да −x4+6x2=−−1x4−6x2 - Нет значит, функция является чётной