График функции y = 2*x^3+4*x-1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          3          
f(x) = 2*x  + 4*x - 1
$$f{\left (x \right )} = 2 x^{3} + 4 x - 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{3} + 4 x - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{465}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{465}}{36}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.242839732585$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 + 4*x - 1.
$$-1 + 2 \cdot 0^{3} + 0 \cdot 4$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{3} + 4 x - 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} + 4 x - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 + 4*x - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{3} + 4 x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{3} + 4 x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{3} + 4 x - 1 = - 2 x^{3} - 4 x - 1$$
- Нет
$$2 x^{3} + 4 x - 1 = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 4 x + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной