График функции y = 16*x^3-36*x^2+24*x-9

Вы ввели

           3       2           
f(x) = 16*x  - 36*x  + 24*x - 9

$$f{\left(x \right)} = 16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 16*x^3 - 36*x^2 + 24*x - 1*9.
$$\left(-1\right) 9 + 16 \cdot 0^{3} - 36 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -9$$
Точка:

(0, -9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$48 x^{2} - 72 x + 24 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1/2, 5 - 9)

(1, 4 - 9)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$24 \cdot \left(4 x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 16*x^3 - 36*x^2 + 24*x - 1*9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9 = - 16 x^{3} - 36 x^{2} - 24 x - 9$$
- Нет
$$16 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x - 9 = 16 x^{3} + 36 x^{2} + 24 x + 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График