График функции y = 1-cos(3*x)

Вы ввели

f(x) = 1 - cos(3*x)

$$f{\left (x \right )} = - \cos{\left (3 x \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \cos{\left (3 x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 31.4159266488$$
$$x_{2} = 50.2654824464$$
$$x_{3} = 48.1710874364$$
$$x_{4} = -85.8701992331$$
$$x_{5} = -2.09439502691$$
$$x_{6} = 83.7758042295$$
$$x_{7} = -25.1327413023$$
$$x_{8} = -35.6047172724$$
$$x_{9} = 81.6814091524$$
$$x_{10} = 43.9822971694$$
$$x_{11} = -4.18879008401$$
$$x_{12} = -29.3215315957$$
$$x_{13} = -77.4926189173$$
$$x_{14} = 12.5663704684$$
$$x_{15} = 8.3775803341$$
$$x_{16} = 6.28318528432$$
$$x_{17} = 833.569250843$$
$$x_{18} = -79.587013983$$
$$x_{19} = 100.530964779$$
$$x_{20} = 161.268422609$$
$$x_{21} = -75.3982238398$$
$$x_{22} = 54.4542725528$$
$$x_{23} = -14.660765736$$
$$x_{24} = 39.793507073$$
$$x_{25} = -69.1150384222$$
$$x_{26} = 35.6047169092$$
$$x_{27} = -90.05898935$$
$$x_{28} = -81.6814090376$$
$$x_{29} = -58.6430628407$$
$$x_{30} = -31.415926686$$
$$x_{31} = 37.6991119985$$
$$x_{32} = 33.5103217994$$
$$x_{33} = -37.699111877$$
$$x_{34} = 96.3421746527$$
$$x_{35} = -10.4719753474$$
$$x_{36} = 58.6430627072$$
$$x_{37} = 87.9645943355$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = -100.530964767$$
$$x_{40} = 73.3038284231$$
$$x_{41} = 10.4719753957$$
$$x_{42} = -33.510321761$$
$$x_{43} = 14.6607655553$$
$$x_{44} = -73.303828746$$
$$x_{45} = 29.3215313536$$
$$x_{46} = -48.1710872415$$
$$x_{47} = -27.2271364802$$
$$x_{48} = -23.0383458749$$
$$x_{49} = -46.0766921879$$
$$x_{50} = 98.4365698045$$
$$x_{51} = 77.4926189449$$
$$x_{52} = -16.7551609612$$
$$x_{53} = -83.7758040751$$
$$x_{54} = -54.4542724952$$
$$x_{55} = -41.8879015909$$
$$x_{56} = -92.1533843995$$
$$x_{57} = -52.3598773943$$
$$x_{58} = -35.6047168246$$
$$x_{59} = 37.6991113435$$
$$x_{60} = 16.7551606647$$
$$x_{61} = -87.964594359$$
$$x_{62} = -39.7935069083$$
$$x_{63} = 18.8495558248$$
$$x_{64} = -6.28318515591$$
$$x_{65} = 46.0766919666$$
$$x_{66} = 85.8701992926$$
$$x_{67} = 94.2477796094$$
$$x_{68} = 56.5486676233$$
$$x_{69} = -441575121.501$$
$$x_{70} = -60.7374583802$$
$$x_{71} = -94.2477794663$$
$$x_{72} = -71.2094336231$$
$$x_{73} = -43.9822971746$$
$$x_{74} = 92.1533846198$$
$$x_{75} = -12.566370487$$
$$x_{76} = -98.4365696441$$
$$x_{77} = 98.4365697103$$
$$x_{78} = 64.9262482455$$
$$x_{79} = 79.5870140599$$
$$x_{80} = -20.9439509762$$
$$x_{81} = 20.9439511733$$
$$x_{82} = 52.3598774932$$
$$x_{83} = -56.5486676259$$
$$x_{84} = -50.2654823108$$
$$x_{85} = 75.3982237804$$
$$x_{86} = -67.0206429069$$
$$x_{87} = 90.0589892608$$
$$x_{88} = -96.3421745469$$
$$x_{89} = 4.18879026157$$
$$x_{90} = 41.8879021332$$
$$x_{91} = -8.37758024223$$
$$x_{92} = 62.8318529572$$
$$x_{93} = -69.1150389029$$
$$x_{94} = 60.7374578112$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - cos(3*x).
$$- \cos{\left (0 \cdot 3 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 2)
 3     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках

[0, pi/3]

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$9 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/6] U [pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/6, pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos{\left (3 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \cos{\left (3 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - cos(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos{\left (3 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos{\left (3 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \cos{\left (3 x \right )} + 1 = - \cos{\left (3 x \right )} + 1$$
- Да
$$- \cos{\left (3 x \right )} + 1 = - -1 \cos{\left (3 x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной