График функции y = e^(2*x-x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
               2
        2*x - x 
f(x) = e        
f(x)=ex2+2xf{\left(x \right)} = e^{- x^{2} + 2 x}
График функции
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
ex2+2x=0e^{- x^{2} + 2 x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(2*x - x^2).
e2002e^{2 \cdot 0 - 0^{2}}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
(22x)ex2+2x=0\left(2 - 2 x\right) e^{- x^{2} + 2 x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = 1
Зн. экстремумы в точках:
(1, e)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = 1
Убывает на промежутках
(,1]\left(-\infty, 1\right]
Возрастает на промежутках
[1,)\left[1, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(2(x1)21)ex(2x)=02 \cdot \left(2 \left(x - 1\right)^{2} - 1\right) e^{x \left(2 - x\right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=122x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22+1x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,122][22+1,)\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[122,22+1]\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxex2+2x=0\lim_{x \to -\infty} e^{- x^{2} + 2 x} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limxex2+2x=0\lim_{x \to \infty} e^{- x^{2} + 2 x} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(2*x - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(ex2+2xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x^{2} + 2 x}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(ex2+2xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x^{2} + 2 x}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
ex2+2x=ex22xe^{- x^{2} + 2 x} = e^{- x^{2} - 2 x}
- Нет
ex2+2x=ex22xe^{- x^{2} + 2 x} = - e^{- x^{2} - 2 x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = e^(2*x-x^2) /media/krcore-image-pods/hash/xy/8/b4/0073a55a850d83438666f9afdbd21.png