График функции y = 3*x^5-5*x^3+1

Вы ввели

          5      3    
f(x) = 3*x  - 5*x  + 1

$$f{\left(x \right)} = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 x^{5} - 5 x^{3} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{5} - 5 x^{3} + 1, 0\right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{5} - 5 x^{3} + 1, 1\right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{5} - 5 x^{3} + 1, 2\right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.21732739555559$$
$$x_{2} = -1.34320975135906$$
$$x_{3} = 0.643138782163354$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*x^5 - 5*x^3 + 1.
$$3 \cdot 0^{5} - 5 \cdot 0^{3} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 3)

(0, 1)

(1, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$30 x \left(2 x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{5} - 5 x^{3} + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{5} - 5 x^{3} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x^5 - 5*x^3 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{5} - 5 x^{3} + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{5} - 5 x^{3} + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 x^{5} - 5 x^{3} + 1 = - 3 x^{5} + 5 x^{3} + 1$$
- Нет
$$3 x^{5} - 5 x^{3} + 1 = 3 x^{5} - 5 x^{3} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График