График функции y = (x-2)/sqrt(x^2+1)

          x - 2   
f(x) = -----------
          ________
         /  2     
       \/  x  + 1 

$$f{\left (x \right )} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)/sqrt(x^2 + 1).
$$- \frac{2}{\sqrt{0^{2} + 1}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -2$$
Точка:

(0, -2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

          ___ 
(-1/2, -\/ 5 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 2\right)}{x^{2} + 1} - 3 x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{41}}{8}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{41}}{8} - \frac{3}{8}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-sqrt(41)/8 - 3/8, -3/8 + sqrt(41)/8]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(41)/8 - 3/8] U [-3/8 + sqrt(41)/8, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)/sqrt(x^2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
- Нет
$$\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = - \frac{- x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной