График функции y = (x-2)/sqrt(x^2+1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          x - 2   
f(x) = -----------
          ________
         /  2     
       \/  x  + 1 
f(x)=x2x2+1f{\left (x \right )} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}
График функции
02468-10-8-6-4-25-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2x2+1=0\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = 2
Численное решение
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)/sqrt(x^2 + 1).
202+1- \frac{2}{\sqrt{0^{2} + 1}}
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = -2
Точка:
(0, -2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x(x2)(x2+1)32+1x2+1=0- \frac{x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}
Зн. экстремумы в точках:
          ___ 
(-1/2, -\/ 5 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-1/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -1/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1(x2+1)32(3x2(x2)x2+13x+2)=0\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 2\right)}{x^{2} + 1} - 3 x + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=38+418x_{1} = - \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{41}}{8}
x2=41838x_{2} = - \frac{\sqrt{41}}{8} - \frac{3}{8}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-sqrt(41)/8 - 3/8, -3/8 + sqrt(41)/8]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(41)/8 - 3/8] U [-3/8 + sqrt(41)/8, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2x2+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = -1
limx(x2x2+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)/sqrt(x^2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2xx2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x2xx2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2x2+1=x2x2+1\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}
- Нет
x2x2+1=x2x2+1\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = - \frac{- x - 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной