График функции y = 2/3*x^3+4*x^2-10
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
3
2*x 2
f(x) = ---- + 4*x - 10
3
$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 i}{2} \sqrt{255}} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 i}{2} \sqrt{255}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.42165808206$$
$$x_{2} = -1.91661835744$$
$$x_{3} = -5.50503972462$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 i}{2} \sqrt{255}} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 i}{2} \sqrt{255}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.42165808206$$
$$x_{2} = -1.91661835744$$
$$x_{3} = -5.50503972462$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3/3 + 4*x^2 - 10.
$$-10 + \frac{0}{3} + 4 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -10$$
Точка:
подставляем x = 0 в 2*x^3/3 + 4*x^2 - 10.
$$-10 + \frac{0}{3} + 4 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -10$$
Точка:
(0, -10)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x^{2} + 8 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -4$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x^{2} + 8 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, 34/3)
(0, -10)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -4$$
Убывает на промежутках
(-oo, -4] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
[-4, 0]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3/3 + 4*x^2 - 10, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10$$
- Нет
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = - \frac{1}{3} \left(-1 \cdot 2 x^{3}\right) - 4 x^{2} + 10$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10$$
- Нет
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = - \frac{1}{3} \left(-1 \cdot 2 x^{3}\right) - 4 x^{2} + 10$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной