График функции y = 2/3*x^3+4*x^2-10

Вы ввели

          3            
       2*x       2     
f(x) = ---- + 4*x  - 10
        3              

$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{255} i}{2}}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{255} i}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.91661835743921$$
$$x_{2} = 1.4216580820591$$
$$x_{3} = -5.50503972461989$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3/3 + 4*x^2 - 1*10.
$$\left(-1\right) 10 + \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} + 4 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -10$$
Точка:

(0, -10)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$2 x^{2} + 8 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(-4, 64/3 - 10)

(0, -1*10)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-4, 0\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$4 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3/3 + 4*x^2 - 1*10, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10$$
- Нет
$$\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = \frac{2 x^{3}}{3} - 4 x^{2} + 10$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График