График функции y = 2/3*x^3+4*x^2-10

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3            
       2*x       2     
f(x) = ---- + 4*x  - 10
        3              
f(x)=2x33+4x210f{\left(x \right)} = \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10
График функции
02468-8-6-4-2-10102000-1000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x33+4x210=0\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2272+27255i23312272+27255i23x_{1} = -2 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{255} i}{2}}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{255} i}{2}}}
Численное решение
x1=1.91661835743921x_{1} = -1.91661835743921
x2=1.4216580820591x_{2} = 1.4216580820591
x3=5.50503972461989x_{3} = -5.50503972461989
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3/3 + 4*x^2 - 1*10.
(1)10+2033+402\left(-1\right) 10 + \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} + 4 \cdot 0^{2}
Результат:
f(0)=10f{\left(0 \right)} = -10
Точка:
(0, -10)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2x2+8x=02 x^{2} + 8 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=4x_{1} = -4
x2=0x_{2} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(-4, 64/3 - 10)

(0, -1*10)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумы функции в точках:
x1=4x_{1} = -4
Убывает на промежутках
(,4][0,)\left(-\infty, -4\right] \cup \left[0, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[4,0]\left[-4, 0\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
4(x+2)=04 \left(x + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2,)\left[-2, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,2]\left(-\infty, -2\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x33+4x210)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(2x33+4x210)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3/3 + 4*x^2 - 1*10, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x33+4x210x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(2x33+4x210x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x33+4x210=2x33+4x210\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10
- Нет
2x33+4x210=2x334x2+10\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 10 = \frac{2 x^{3}}{3} - 4 x^{2} + 10
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 2/3*x^3+4*x^2-10 /media/krcore-image-pods/hash/xy/d/18/5621b3977127839f02d36ee5d00a9.png