График функции y = 1/sqrt(x)+cos(2*x)

Вы ввели

         1             
f(x) = ----- + cos(2*x)
         ___           
       \/ x            

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 19.7484391874$$
$$x_{2} = 96.5530011625$$
$$x_{3} = 77.6975718636$$
$$x_{4} = 16.617282539$$
$$x_{5} = 55.696070113$$
$$x_{6} = 39.9758920877$$
$$x_{7} = 52.5524842239$$
$$x_{8} = 38.5653760507$$
$$x_{9} = 76.2410109833$$
$$x_{10} = 60.5400979632$$
$$x_{11} = 46.2647144457$$
$$x_{12} = 63.6800731959$$
$$x_{13} = 10.36806926$$
$$x_{14} = 88.8031511565$$
$$x_{15} = 99.695406333$$
$$x_{16} = 85.662527959$$
$$x_{17} = 90.2680648241$$
$$x_{18} = 54.2605613326$$
$$x_{19} = 11.6321844317$$
$$x_{20} = 41.7038406081$$
$$x_{21} = 8.46393832658$$
$$x_{22} = 17.9450014965$$
$$x_{23} = 83.9829346082$$
$$x_{24} = 82.5219597948$$
$$x_{25} = 32.2897761656$$
$$x_{26} = 30.5395500785$$
$$x_{27} = 74.5547881283$$
$$x_{28} = 91.9438246313$$
$$x_{29} = 24.2450868337$$
$$x_{30} = 69.9603582358$$
$$x_{31} = 98.2253060888$$
$$x_{32} = 33.6855403859$$
$$x_{33} = 4.18244676648$$
$$x_{34} = 47.9817236046$$
$$x_{35} = 61.9827739996$$
$$x_{36} = 68.2689771574$$
$$x_{37} = 26.0168048708$$
$$x_{38} = 1.95815224048$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(sqrt(x)) + cos(2*x).
$$\frac{1}{\sqrt{0}} + \cos{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- 2 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 56.5483738103$$
$$x_{2} = 34.5569038598$$
$$x_{3} = 15.7059550324$$
$$x_{4} = 95.8187092051$$
$$x_{5} = 50.2651316976$$
$$x_{6} = 6.27523317629$$
$$x_{7} = 14.1395179795$$
$$x_{8} = 42.411953385$$
$$x_{9} = 65.9732124556$$
$$x_{10} = 23.5630377592$$
$$x_{11} = 43.9818686022$$
$$x_{12} = 92.6771233851$$
$$x_{13} = 21.9899363746$$
$$x_{14} = 20.421706728$$
$$x_{15} = 81.6812396662$$
$$x_{16} = 48.6950539908$$
$$x_{17} = 51.8366137151$$
$$x_{18} = 59.689989363$$
$$x_{19} = 73.8276244117$$
$$x_{20} = 89.5355381697$$
$$x_{21} = 29.8458968346$$
$$x_{22} = 64.4028912519$$
$$x_{23} = 3.11889092339$$
$$x_{24} = 87.9644427877$$
$$x_{25} = 1.63095462141$$
$$x_{26} = 72.2564275181$$
$$x_{27} = 70.6860450398$$
$$x_{28} = 9.42045473791$$
$$x_{29} = 58.1197462053$$
$$x_{30} = 37.698571807$$
$$x_{31} = 67.5444672299$$
$$x_{32} = 80.1107869971$$
$$x_{33} = 28.2735024234$$
$$x_{34} = 26.704443361$$
$$x_{35} = 4.72456234257$$
$$x_{36} = 94.2476429908$$
$$x_{37} = 7.85965465163$$
$$x_{38} = 100.530840904$$
$$x_{39} = 86.3939536366$$
$$x_{40} = 36.1288911261$$
$$x_{41} = 78.539636752$$
$$x_{42} = 45.5535000397$$
$$x_{43} = 12.5635636104$$
Зн. экстремумы в точках:

(56.5483738103, 1.13298093295074)

(34.5569038598, 1.17011031717305)

(15.7059550324, 1.25232131664287)

(95.8187092051, -0.897841385810382)

(50.2651316976, 1.14104764194921)

(6.27523317629, 1.39906850503486)

(14.1395179795, -0.734049537191134)

(42.411953385, -0.846447454309803)

(65.9732124556, 1.12311636944396)

(23.5630377592, -0.793989481091596)

(43.9818686022, 1.1507863760745)

(92.6771233851, -0.896124317199132)

(21.9899363746, 1.21324655723599)

(20.421706728, -0.778710308367482)

(81.6812396662, 1.11064673795378)

(48.6950539908, -0.85669597311975)

(51.8366137151, -0.861106350291652)

(59.689989363, 1.12943411429259)

(73.8276244117, -0.883616652981777)

(89.5355381697, -0.894317651739024)

(29.8458968346, -0.816953903413181)

(64.4028912519, -0.875391483573249)

(3.11889092339, 1.56520860741218)

(87.9644427877, 1.10662185522359)

(1.63095462141, -0.209739496923711)

(72.2564275181, 1.11764174326649)

(70.6860450398, -0.881058480737664)

(9.42045473791, 1.32577236202661)

(58.1197462053, -0.868828745395071)

(37.698571807, 1.16286808723281)

(67.5444672299, -0.87832384659759)

(80.1107869971, -0.888273874797916)

(28.2735024234, 1.18806457710185)

(26.704443361, -0.806486210388211)

(4.72456234257, -0.539638619454068)

(94.2476429908, 1.1030064912011)

(7.85965465163, -0.643239610685423)

(100.530840904, 1.09973560085788)

(86.3939536366, -0.892413316231013)

(36.1288911261, -0.833630230987847)

(78.539636752, 1.11283798121284)

(45.5535000397, -0.851836887246144)

(12.5635636104, 1.28211054491225)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{43} = 95.8187092051$$
$$x_{43} = 14.1395179795$$
$$x_{43} = 42.411953385$$
$$x_{43} = 23.5630377592$$
$$x_{43} = 92.6771233851$$
$$x_{43} = 20.421706728$$
$$x_{43} = 48.6950539908$$
$$x_{43} = 51.8366137151$$
$$x_{43} = 73.8276244117$$
$$x_{43} = 89.5355381697$$
$$x_{43} = 29.8458968346$$
$$x_{43} = 64.4028912519$$
$$x_{43} = 1.63095462141$$
$$x_{43} = 70.6860450398$$
$$x_{43} = 58.1197462053$$
$$x_{43} = 67.5444672299$$
$$x_{43} = 80.1107869971$$
$$x_{43} = 26.704443361$$
$$x_{43} = 4.72456234257$$
$$x_{43} = 7.85965465163$$
$$x_{43} = 86.3939536366$$
$$x_{43} = 36.1288911261$$
$$x_{43} = 45.5535000397$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{43} = 56.5483738103$$
$$x_{43} = 34.5569038598$$
$$x_{43} = 15.7059550324$$
$$x_{43} = 50.2651316976$$
$$x_{43} = 6.27523317629$$
$$x_{43} = 65.9732124556$$
$$x_{43} = 43.9818686022$$
$$x_{43} = 21.9899363746$$
$$x_{43} = 81.6812396662$$
$$x_{43} = 59.689989363$$
$$x_{43} = 3.11889092339$$
$$x_{43} = 87.9644427877$$
$$x_{43} = 72.2564275181$$
$$x_{43} = 9.42045473791$$
$$x_{43} = 37.698571807$$
$$x_{43} = 28.2735024234$$
$$x_{43} = 94.2476429908$$
$$x_{43} = 100.530840904$$
$$x_{43} = 78.539636752$$
$$x_{43} = 12.5635636104$$
Убывает на промежутках

[95.8187092051, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 1.63095462141]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 4 \cos{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 71.4712350401$$
$$x_{2} = 10.2098946632$$
$$x_{3} = 40.0553155658$$
$$x_{4} = 33.7721351702$$
$$x_{5} = 47.9092820663$$
$$x_{6} = 66.7588413142$$
$$x_{7} = 96.60397512$$
$$x_{8} = 69.9004342474$$
$$x_{9} = 84.0376049316$$
$$x_{10} = 85.6083984278$$
$$x_{11} = 98.174769443$$
$$x_{12} = 90.3207899999$$
$$x_{13} = 27.4889593822$$
$$x_{14} = 18.0642253544$$
$$x_{15} = 25.9181119787$$
$$x_{16} = 82.4668056387$$
$$x_{17} = 88.7499912005$$
$$x_{18} = 68.3296426447$$
$$x_{19} = 32.2013087667$$
$$x_{20} = 30.630546427$$
$$x_{21} = 16.4932765712$$
$$x_{22} = 38.4844998028$$
$$x_{23} = 52.6216816149$$
$$x_{24} = 54.1924689381$$
$$x_{25} = 55.7632736386$$
$$x_{26} = 87.1791974582$$
$$x_{27} = 3.923917025$$
$$x_{28} = 91.8915839593$$
$$x_{29} = 60.4756552854$$
$$x_{30} = 11.7811692397$$
$$x_{31} = 74.6128274723$$
$$x_{32} = 5.49910917262$$
$$x_{33} = 2.3670706969$$
$$x_{34} = 63.6172483309$$
$$x_{35} = 46.3384980543$$
$$x_{36} = 24.3473751163$$
$$x_{37} = 8.63980707605$$
$$x_{38} = 76.1836199989$$
$$x_{39} = 77.7544199349$$
$$x_{40} = 99.745567695$$
$$x_{41} = 49.4800897378$$
$$x_{42} = 62.046458$$
$$x_{43} = 41.626094274$$
$$x_{44} = 19.6348992068$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 4 \cos{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 4 \cos{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[98.174769443, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 3.923917025]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(sqrt(x)) + cos(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
$$\cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}} = - \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной