График функции y = 5*x^2-2/3*x^2-1

Вы ввели

                 2    
          2   2*x     
f(x) = 5*x  - ---- - 1
               3      

$$f{\left(x \right)} = - \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{39}}{13}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{39}}{13}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.480384461415261$$
$$x_{2} = -0.480384461415261$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 5*x^2 - 2*x^2/3 - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + 5 \cdot 0^{2} - \frac{2 \cdot 0^{2}}{3}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{26 x}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1*1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{26}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 5*x^2 - 2*x^2/3 - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1 = - \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1$$
- Да
$$- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1 = - 5 x^{2} + \frac{2 x^{2}}{3} + 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График