График функции y = 5*x^2-2/3*x^2-1

                 2    
          2   2*x     
f(x) = 5*x  - ---- - 1
               3      

$$f{\left (x \right )} = - \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{39}}{13}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{39}}{13}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.480384461415$$
$$x_{2} = -0.480384461415$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 5*x^2 - 2*x^2/3 - 1.
$$-1 + 5 \cdot 0^{2} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{26 x}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{26}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 5*x^2 - 2*x^2/3 - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1 = - \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1$$
- Да
$$- \frac{2 x^{2}}{3} + 5 x^{2} - 1 = - 5 x^{2} - - \frac{2 x^{2}}{3} + 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной