График функции y = (x+1)^2/(x^2+2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
              2
       (x + 1) 
f(x) = --------
         2     
        x  + 2 
f(x)=(x+1)2x2+2f{\left (x \right )} = \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}
График функции
05-30-25-20-15-10-5101520253002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(x+1)2x2+2=0\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
Численное решение
x1=0.999999476181x_{1} = -0.999999476181
x2=1.00000038065x_{2} = -1.00000038065
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)^2/(x^2 + 2).
1202+2\frac{1^{2}}{0^{2} + 2}
Результат:
f(0)=12f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}
Точка:
(0, 1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x(x+1)2(x2+2)2+2x+2x2+2=0- \frac{2 x \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)

(2, 3/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=1x_{2} = -1
Максимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = 2
Убывает на промежутках
[-1, 2]

Возрастает на промежутках
(-oo, -1] U [2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx((x+1)2x2+2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx((x+1)2x2+2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^2/(x^2 + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx((x+1)2x(x2+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx((x+1)2x(x2+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(x+1)2x2+2=(x+1)2x2+2\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2} = \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}
- Нет
(x+1)2x2+2=(x+1)2x2+2\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной