График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x2+2(x+1)2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−1 Численное решение x1=−0.999999476181 x2=−1.00000038065
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x + 1)^2/(x^2 + 2). 02+212 Результат: f(0)=21 Точка:
(0, 1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −(x2+2)22x(x+1)2+x2+22x+2=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−1 x2=2 Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)
(2, 3/2)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=−1 Максимумы функции в точках: x2=2 Убывает на промежутках
[-1, 2]
Возрастает на промежутках
(-oo, -1] U [2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x2+2(x+1)2)=1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=1 x→∞lim(x2+2(x+1)2)=1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^2/(x^2 + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x2+2)(x+1)2)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x(x2+2)(x+1)2)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x2+2(x+1)2=x2+2(−x+1)2 - Нет x2+2(x+1)2=−x2+2(−x+1)2 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной