График функции y = (x+1)^2/(x^2+2)

Вы ввели

              2
       (x + 1) 
f(x) = --------
         2     
        x  + 2 

$$f{\left (x \right )} = \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.999999476181$$
$$x_{2} = -1.00000038065$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)^2/(x^2 + 2).
$$\frac{1^{2}}{0^{2} + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, 1/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 0)

(2, 3/2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках

[-1, 2]

Возрастает на промежутках

(-oo, -1] U [2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^2/(x^2 + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2} = \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной