Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+3−1⋅3x2=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=0
Численное решение
x1=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-3*x^2)/(x^2 + 3).
02+3−1⋅3⋅02
Результат:
f(0)=0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
Первая производная
(x2+3)26x3−x2+36x=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=0
Убывает на промежутках
(-oo, 0]
Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
Вторая производная
x2+31(−(x2+3)224x4+x2+330x2−6)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−1
x2=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -1] U [1, oo)
Выпуклая на промежутках
[-1, 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(x2+3−1⋅3x2)=−3
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−3
x→∞lim(x2+3−1⋅3x2)=−3
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=−3
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-3*x^2)/(x^2 + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(−x2+33x)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(−x2+33x)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+3−1⋅3x2=x2+3−1⋅3x2
- Да
x2+3−1⋅3x2=−x2+3−1⋅3x2
- Нет
значит, функция
является
чётной