График функции y = -(3*x^2)/(x^2+3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           2 
       -3*x  
f(x) = ------
        2    
       x  + 3
f(x)=13x2x2+3f{\left (x \right )} = \frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3}
График функции
02468-8-6-4-2-10105-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
13x2x2+3=0\frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-3*x^2)/(x^2 + 3).
130202+3\frac{-1 \cdot 3 \cdot 0^{2}}{0^{2} + 3}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
6x3(x2+3)26xx2+3=0\frac{6 x^{3}}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} + 3} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0]

Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x2+3(24x4(x2+3)2+30x2x2+36)=0\frac{1}{x^{2} + 3} \left(- \frac{24 x^{4}}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} + \frac{30 x^{2}}{x^{2} + 3} - 6\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -1] U [1, oo)

Выпуклая на промежутках
[-1, 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(13x2x2+3)=3\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = -3
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=3y = -3
limx(13x2x2+3)=3\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3}\right) = -3
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=3y = -3
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-3*x^2)/(x^2 + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(3xx2+3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{3 x}{x^{2} + 3}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(3xx2+3)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 x}{x^{2} + 3}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
13x2x2+3=13x2x2+3\frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3} = \frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3}
- Да
13x2x2+3=13x2x2+3\frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3} = - \frac{-1 \cdot 3 x^{2}}{x^{2} + 3}
- Нет
значит, функция
является
чётной