График функции y = 3*x^3+3*x^2-1

Вы ввели

          3      2    
f(x) = 3*x  + 3*x  - 1

$$f{\left (x \right )} = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{18} + \frac{7}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{18} + \frac{7}{54}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.475329585787$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*x^3 + 3*x^2 - 1.
$$-1 + 3 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$9 x^{2} + 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2/3, -5/9)

(0, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{2}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2/3] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

[-2/3, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$6 \left(3 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x^3 + 3*x^2 - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 1$$
- Нет
$$3 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = - -1 \cdot 3 x^{3} - 3 x^{2} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной