График функции y = 3*x^3+3*x^2-1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3      2    
f(x) = 3*x  + 3*x  - 1
f(x)=3x3+3x21f{\left (x \right )} = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 1
График функции
-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-5050
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
3x3+3x21=03 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=13+19518+7543+518+7543x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{18} + \frac{7}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{18} + \frac{7}{54}}
Численное решение
x1=0.475329585787x_{1} = 0.475329585787
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*x^3 + 3*x^2 - 1.
1+303+302-1 + 3 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
9x2+6x=09 x^{2} + 6 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=23x_{1} = - \frac{2}{3}
x2=0x_{2} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(-2/3, -5/9)

(0, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Максимумы функции в точках:
x2=23x_{2} = - \frac{2}{3}
Убывает на промежутках
(-oo, -2/3] U [0, oo)

Возрастает на промежутках
[-2/3, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
6(3x+1)=06 \left(3 x + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=13x_{1} = - \frac{1}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-1/3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -1/3]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(3x3+3x21)=\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(3x3+3x21)=\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x^3 + 3*x^2 - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(3x3+3x21))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(3x3+3x21))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{3} + 3 x^{2} - 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
3x3+3x21=3x3+3x213 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 1
- Нет
3x3+3x21=13x33x2+13 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = - -1 \cdot 3 x^{3} - 3 x^{2} + 1
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной