Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−0.428571428571429
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 7x+3−x3+3x2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=3 Численное решение x1=0 x2=3
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (-x^3 + 3*x^2)/(7*x + 3). 0⋅7+3−0+3⋅02 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 7x+3−3x2+6x−(7x+3)2−7x3+21x2=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=73+762 x3=−762+73 Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x3=0 Максимумы функции в точках: x3=73+762 x3=−762+73 Убывает на промежутках
(-oo, -6*sqrt(2)/7 + 3/7] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3/7 + 6*sqrt(2)/7, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 7x+31(−(7x+3)298x2(x−3)+7x+342x(x−2)−6x+6)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=73 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=−0.428571428571429
x→−0.428571428571429−lim(7x+31(−(7x+3)298x2(x−3)+7x+342x(x−2)−6x+6))=−∞ x→−0.428571428571429+lim(7x+31(−(7x+3)298x2(x−3)+7x+342x(x−2)−6x+6))=∞ - пределы не равны, зн. x1=−0.428571428571429 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, 3/7]
Выпуклая на промежутках
[3/7, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−0.428571428571429
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(7x+3−x3+3x2)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(7x+3−x3+3x2)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^3 + 3*x^2)/(7*x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(7x+3)−x3+3x2)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x(7x+3)−x3+3x2)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 7x+3−x3+3x2=−7x+3x3+3x2 - Нет 7x+3−x3+3x2=−−7x+3x3+3x2 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной