График функции y = (-x^3+3*x^2)/(7*x+3)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

          3      2
       - x  + 3*x 
f(x) = -----------
         7*x + 3  

$$f{\left (x \right )} = \frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3}$$

Область определения функции

[TeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.428571428571429$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-x^3 + 3*x^2)/(7*x + 3).
$$\frac{- 0 + 3 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 7 + 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 3 x^{2} + 6 x}{7 x + 3} - \frac{- 7 x^{3} + 21 x^{2}}{\left(7 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{7} + \frac{6 \sqrt{2}}{7}$$
$$x_{3} = - \frac{6 \sqrt{2}}{7} + \frac{3}{7}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

                             3                  2 
                /        ___\      /        ___\  
                |3   6*\/ 2 |      |3   6*\/ 2 |  
         ___  - |- + -------|  + 3*|- + -------|  
 3   6*\/ 2     \7      7   /      \7      7   /  
(- + -------, -----------------------------------)
 7      7                         ___             
                          6 + 6*\/ 2              

                             3                  2 
                /        ___\      /        ___\  
                |3   6*\/ 2 |      |3   6*\/ 2 |  
         ___  - |- - -------|  + 3*|- - -------|  
 3   6*\/ 2     \7      7   /      \7      7   /  
(- - -------, -----------------------------------)
 7      7                         ___             
                          6 - 6*\/ 2              

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = \frac{3}{7} + \frac{6 \sqrt{2}}{7}$$
$$x_{3} = - \frac{6 \sqrt{2}}{7} + \frac{3}{7}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -6*sqrt(2)/7 + 3/7] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [3/7 + 6*sqrt(2)/7, oo)

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{7 x + 3} \left(- \frac{98 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(7 x + 3\right)^{2}} + \frac{42 x \left(x - 2\right)}{7 x + 3} - 6 x + 6\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{7}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -0.428571428571429$$

$$\lim_{x \to -0.428571428571429^-}\left(\frac{1}{7 x + 3} \left(- \frac{98 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(7 x + 3\right)^{2}} + \frac{42 x \left(x - 2\right)}{7 x + 3} - 6 x + 6\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.428571428571429^+}\left(\frac{1}{7 x + 3} \left(- \frac{98 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(7 x + 3\right)^{2}} + \frac{42 x \left(x - 2\right)}{7 x + 3} - 6 x + 6\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -0.428571428571429$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 3/7]

Выпуклая на промежутках

[3/7, oo)

Вертикальные асимптоты

[TeX]

Есть:
$$x_{1} = -0.428571428571429$$

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^3 + 3*x^2)/(7*x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{x \left(7 x + 3\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{x \left(7 x + 3\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3} = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{- 7 x + 3}$$
- Нет
$$\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3} = - \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{- 7 x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной