График функции y = (-x^3+3*x^2)/(7*x+3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3      2
       - x  + 3*x 
f(x) = -----------
         7*x + 3  
f(x)=x3+3x27x+3f{\left (x \right )} = \frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3}
График функции
02468-8-6-4-21012-2525
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0.428571428571429x_{1} = -0.428571428571429
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3+3x27x+3=0\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-x^3 + 3*x^2)/(7*x + 3).
0+30207+3\frac{- 0 + 3 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 7 + 3}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3x2+6x7x+37x3+21x2(7x+3)2=0\frac{- 3 x^{2} + 6 x}{7 x + 3} - \frac{- 7 x^{3} + 21 x^{2}}{\left(7 x + 3\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=37+627x_{2} = \frac{3}{7} + \frac{6 \sqrt{2}}{7}
x3=627+37x_{3} = - \frac{6 \sqrt{2}}{7} + \frac{3}{7}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

                             3                  2 
                /        ___\      /        ___\  
                |3   6*\/ 2 |      |3   6*\/ 2 |  
         ___  - |- + -------|  + 3*|- + -------|  
 3   6*\/ 2     \7      7   /      \7      7   /  
(- + -------, -----------------------------------)
 7      7                         ___             
                          6 + 6*\/ 2              

                             3                  2 
                /        ___\      /        ___\  
                |3   6*\/ 2 |      |3   6*\/ 2 |  
         ___  - |- - -------|  + 3*|- - -------|  
 3   6*\/ 2     \7      7   /      \7      7   /  
(- - -------, -----------------------------------)
 7      7                         ___             
                          6 - 6*\/ 2              


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x3=0x_{3} = 0
Максимумы функции в точках:
x3=37+627x_{3} = \frac{3}{7} + \frac{6 \sqrt{2}}{7}
x3=627+37x_{3} = - \frac{6 \sqrt{2}}{7} + \frac{3}{7}
Убывает на промежутках
(-oo, -6*sqrt(2)/7 + 3/7] U [0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3/7 + 6*sqrt(2)/7, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
17x+3(98x2(x3)(7x+3)2+42x(x2)7x+36x+6)=0\frac{1}{7 x + 3} \left(- \frac{98 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(7 x + 3\right)^{2}} + \frac{42 x \left(x - 2\right)}{7 x + 3} - 6 x + 6\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=37x_{1} = \frac{3}{7}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0.428571428571429x_{1} = -0.428571428571429

limx0.428571428571429(17x+3(98x2(x3)(7x+3)2+42x(x2)7x+36x+6))=\lim_{x \to -0.428571428571429^-}\left(\frac{1}{7 x + 3} \left(- \frac{98 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(7 x + 3\right)^{2}} + \frac{42 x \left(x - 2\right)}{7 x + 3} - 6 x + 6\right)\right) = -\infty
limx0.428571428571429+(17x+3(98x2(x3)(7x+3)2+42x(x2)7x+36x+6))=\lim_{x \to -0.428571428571429^+}\left(\frac{1}{7 x + 3} \left(- \frac{98 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(7 x + 3\right)^{2}} + \frac{42 x \left(x - 2\right)}{7 x + 3} - 6 x + 6\right)\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x1=0.428571428571429x_{1} = -0.428571428571429
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3/7]

Выпуклая на промежутках
[3/7, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0.428571428571429x_{1} = -0.428571428571429
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3+3x27x+3)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3+3x27x+3)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^3 + 3*x^2)/(7*x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x3+3x2x(7x+3))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{x \left(7 x + 3\right)}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x3+3x2x(7x+3))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{x \left(7 x + 3\right)}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3+3x27x+3=x3+3x27x+3\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3} = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{- 7 x + 3}
- Нет
x3+3x27x+3=x3+3x27x+3\frac{- x^{3} + 3 x^{2}}{7 x + 3} = - \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{- 7 x + 3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной