Точки, в которых функция точно неопределена: x1=2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (x−2)34x=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 Численное решение x1=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (4*x)/(x - 2)^3. (−2)301 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −(x−2)412x+(x−2)34=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−1 Зн. экстремумы в точках:
(-1, 4/27)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x1=−1 Убывает на промежутках
(-oo, -1]
Возрастает на промежутках
[-1, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная (x−2)4x−248x−24=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=2
x→2−lim((x−2)4x−248x−24)=−∞ x→2+lim((x−2)4x−248x−24)=∞ - пределы не равны, зн. x1=2 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, -2]
Выпуклая на промежутках
[-2, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim((x−2)34x)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lim((x−2)34x)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x)/(x - 2)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim((x−2)34)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim((x−2)34)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: (x−2)34x=−(−x−2)34x - Нет (x−2)34x=−(−x−2)3−1⋅4x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной