График функции y = 4*x/(x-2)^3

         4*x   
f(x) = --------
              3
       (x - 2) 

$$f{\left (x \right )} = \frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x)/(x - 2)^3.
$$\frac{0}{\left(-2\right)^{3}} 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{12 x}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 4/27)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1]

Возрастает на промежутках

[-1, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\frac{48 x}{x - 2} - 24}{\left(x - 2\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\frac{48 x}{x - 2} - 24}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{48 x}{x - 2} - 24}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 2$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -2]

Выпуклая на промежутках

[-2, oo)

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x)/(x - 2)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}} = - \frac{4 x}{\left(- x - 2\right)^{3}}$$
- Нет
$$\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}} = - \frac{-1 \cdot 4 x}{\left(- x - 2\right)^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной