График функции y = 4*x/(x-2)^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         4*x   
f(x) = --------
              3
       (x - 2) 
f(x)=4x(x2)3f{\left (x \right )} = \frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}
График функции
05-30-25-20-15-10-51015202530-5001000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
4x(x2)3=0\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x)/(x - 2)^3.
0(2)31\frac{0}{\left(-2\right)^{3}} 1
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
12x(x2)4+4(x2)3=0- \frac{12 x}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 4/27)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = -1
Убывает на промежутках
(-oo, -1]

Возрастает на промежутках
[-1, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
48xx224(x2)4=0\frac{\frac{48 x}{x - 2} - 24}{\left(x - 2\right)^{4}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=2x_{1} = 2

limx2(48xx224(x2)4)=\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\frac{48 x}{x - 2} - 24}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = -\infty
limx2+(48xx224(x2)4)=\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{48 x}{x - 2} - 24}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x1=2x_{1} = 2
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -2]

Выпуклая на промежутках
[-2, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=2x_{1} = 2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(4x(x2)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(4x(x2)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x)/(x - 2)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(4(x2)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(4(x2)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
4x(x2)3=4x(x2)3\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}} = - \frac{4 x}{\left(- x - 2\right)^{3}}
- Нет
4x(x2)3=14x(x2)3\frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}} = - \frac{-1 \cdot 4 x}{\left(- x - 2\right)^{3}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной