График функции y = (1/2)*e^(25*x^3-(29/40)*x^2+(51/100)*x)

Вы ввели

                    2       
            3   29*x    51*x
        25*x  - ----- + ----
                  40    100 
       e                    
f(x) = ---------------------
                 2          

$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(25*x^3 - 29*x^2/40 + 51*x/100)/2.
$$\frac{e^{25 \cdot 0^{3} - \frac{29 \cdot 0^{2}}{40} + \frac{51}{100} \cdot 0}}{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, 1/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\left(75 x^{2} - \frac{29 x}{20} + \frac{51}{100}\right) e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{\left(150 x + \frac{\left(7500 x^{2} - 145 x + 51\right)^{2}}{10000} - \frac{29}{20}\right) e^{x \left(25 x^{2} - \frac{29 x}{40} + \frac{51}{100}\right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}{2} + \frac{29}{3000} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}}{2} + \frac{29}{3000}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}}{2} + \frac{29}{3000}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}{2} + \frac{29}{3000} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}}{2} + \frac{29}{3000}, - \frac{\sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}{2} + \frac{29}{3000} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(25*x^3 - 29*x^2/40 + 51*x/100)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2} = \frac{e^{- 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} - \frac{51 x}{100}}}{2}$$
- Нет
$$\frac{e^{25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} + \frac{51 x}{100}}}{2} = - \frac{e^{- 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} - \frac{51 x}{100}}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График