График функции y = (1/2)*e^(25*x^3-(29/40)*x^2+(51/100)*x)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2
3 29*x 51*x
25*x - ----- + ----
40 100
E
f(x) = ---------------------
2
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(25*x^3 - 29*x^2/40 + 51*x/100)/2.
$$\frac{1}{2} e^{25 \cdot 0^{3} - 0 + \frac{0}{100}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}$$
Точка:
подставляем x = 0 в E^(25*x^3 - 29*x^2/40 + 51*x/100)/2.
$$\frac{1}{2} e^{25 \cdot 0^{3} - 0 + \frac{0}{100}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}$$
Точка:
(0, 1/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2} \left(75 x^{2} - \frac{29 x}{20} + \frac{51}{100}\right) e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2} \left(75 x^{2} - \frac{29 x}{20} + \frac{51}{100}\right) e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{2} \left(150 x + \frac{1}{10000} \left(7500 x^{2} - 145 x + 51\right)^{2} - \frac{29}{20}\right) e^{x \left(25 x^{2} - \frac{29 x}{40} + \frac{51}{100}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{29}{3000} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}} + \frac{29}{3000}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{2} \left(150 x + \frac{1}{10000} \left(7500 x^{2} - 145 x + 51\right)^{2} - \frac{29}{20}\right) e^{x \left(25 x^{2} - \frac{29 x}{40} + \frac{51}{100}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{29}{3000} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}} - \frac{60359}{3375000} - \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + \frac{4}{75 \sqrt{- \frac{60359}{6750000} + \frac{3643208881}{91125000000000 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{163365298665455163}}{9112500000000} + \frac{109130099555151721}{2460375000000000000000}}}}} + \frac{29}{3000}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))/2 - sqrt(-2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3) - 60359/3375000 - 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 4/(75*sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))))/2 + 29/3000] U [-sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))/2 + 29/3000 + sqrt(-2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3) - 60359/3375000 - 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 4/(75*sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))))/2, oo)
Выпуклая на промежутках
[-sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))/2 - sqrt(-2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3) - 60359/3375000 - 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 4/(75*sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))))/2 + 29/3000, -sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))/2 + 29/3000 + sqrt(-2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3) - 60359/3375000 - 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 4/(75*sqrt(-60359/6750000 + 3643208881/(91125000000000*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3)) + 2*(sqrt(163365298665455163)/9112500000000 + 109130099555151721/2460375000000000000000)**(1/3))))/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(25*x^3 - 29*x^2/40 + 51*x/100)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2 x} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2 x} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = \frac{1}{2} e^{- 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} - \frac{51 x}{100}}$$
- Нет
$$\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = - \frac{1}{2} e^{- 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} - \frac{51 x}{100}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = \frac{1}{2} e^{- 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} - \frac{51 x}{100}}$$
- Нет
$$\frac{1}{2} e^{\frac{51 x}{100} + 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40}} = - \frac{1}{2} e^{- 25 x^{3} - \frac{29 x^{2}}{40} - \frac{51 x}{100}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной