График функции y = 2*x^3-3*x^2+6
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
3 2 f(x) = 2*x - 3*x + 6
$$f{\left (x \right )} = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{30}}{4} + \frac{297}{8}} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{30}}{4} + \frac{297}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.07861688851$$
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{30}}{4} + \frac{297}{8}} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{30}}{4} + \frac{297}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.07861688851$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 - 3*x^2 + 6.
$$2 \cdot 0^{3} - 0 + 6$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:
подставляем x = 0 в 2*x^3 - 3*x^2 + 6.
$$2 \cdot 0^{3} - 0 + 6$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:
(0, 6)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} - 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} - 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 6)
(1, 5)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [1, oo)
Возрастает на промежутках
[0, 1]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(2 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(2 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 - 3*x^2 + 6, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6$$
- Нет
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 3 x^{2} - 6$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6$$
- Нет
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 3 x^{2} - 6$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной