График функции y = x^4-8*x^2+7

Вы ввели

        4      2    
f(x) = x  - 8*x  + 7

$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 8 x^{2} + 7$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 8 x^{2} + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 2.64575131106459$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 8*x^2 + 7.
$$0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 7$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 7$$
Точка:

(0, 7)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$4 x^{3} - 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, -9)

(0, 7)

(2, -9)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$4 \cdot \left(3 x^{2} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 8 x^{2} + 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8 x^{2} + 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 8*x^2 + 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{2} + 7}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{2} + 7}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 8 x^{2} + 7 = x^{4} - 8 x^{2} + 7$$
- Да
$$x^{4} - 8 x^{2} + 7 = - x^{4} + 8 x^{2} - 7$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График