График функции y = x^4-8*x^2+7

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        4      2    
f(x) = x  - 8*x  + 7
f(x)=x48x2+7f{\left(x \right)} = x^{4} - 8 x^{2} + 7
График функции
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x48x2+7=0x^{4} - 8 x^{2} + 7 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=7x_{3} = - \sqrt{7}
x4=7x_{4} = \sqrt{7}
Численное решение
x1=2.64575131106459x_{1} = -2.64575131106459
x2=1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1
x4=2.64575131106459x_{4} = 2.64575131106459
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 8*x^2 + 7.
04802+70^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 7
Результат:
f(0)=7f{\left(0 \right)} = 7
Точка:
(0, 7)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
4x316x=04 x^{3} - 16 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -9)

(0, 7)

(2, -9)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Максимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Убывает на промежутках
[2,0][2,)\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,2][0,2]\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
4(3x24)=04 \cdot \left(3 x^{2} - 4\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=233x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x2=233x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,233][233,)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[233,233]\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x48x2+7)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 8 x^{2} + 7\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x48x2+7)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8 x^{2} + 7\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 8*x^2 + 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x48x2+7x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{2} + 7}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x48x2+7x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{2} + 7}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x48x2+7=x48x2+7x^{4} - 8 x^{2} + 7 = x^{4} - 8 x^{2} + 7
- Да
x48x2+7=x4+8x27x^{4} - 8 x^{2} + 7 = - x^{4} + 8 x^{2} - 7
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = x^4-8*x^2+7 /media/krcore-image-pods/hash/xy/f/92/18b1be5f98ee29205b04783285ebb.png