График функции y = x^4-4*x^3+4*x^2

        4      3      2
f(x) = x  - 4*x  + 4*x 

$$f{\left (x \right )} = 4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 4*x^3 + 4*x^2.
$$0^{4} - 0 + 4 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(1, 1)

(2, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 1$$
Убывает на промежутках

[0, 1] U [2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [1, 2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(3 x^{2} - 6 x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -sqrt(3)/3 + 1] U [sqrt(3)/3 + 1, oo)

Выпуклая на промежутках

[-sqrt(3)/3 + 1, sqrt(3)/3 + 1]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 4*x^3 + 4*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3} = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$$
- Нет
$$4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3} = - x^{4} - 4 x^{3} - 4 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной