График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 4x2+x4−4x3=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=2 Численное решение x1=0 x2=2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^4 - 4*x^3 + 4*x^2. 04−0+4⋅02 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 4x3−12x2+8x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=1 x3=2 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
(1, 1)
(2, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x3=0 x3=2 Максимумы функции в точках: x3=1 Убывает на промежутках
[0, 1] U [2, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [1, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 4(3x2−6x+2)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−33+1 x2=33+1
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/3 + 1] U [sqrt(3)/3 + 1, oo)
Выпуклая на промежутках
[-sqrt(3)/3 + 1, sqrt(3)/3 + 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(4x2+x4−4x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(4x2+x4−4x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 4*x^3 + 4*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(4x2+x4−4x3))=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(4x2+x4−4x3))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 4x2+x4−4x3=x4+4x3+4x2 - Нет 4x2+x4−4x3=−x4−4x3−4x2 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной