График функции y = x^2+5*x-4

Вы ввели

        2          
f(x) = x  + 5*x - 4

$$f{\left (x \right )} = x^{2} + 5 x - 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + 5 x - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{41}}{2} - \frac{5}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.70156211872$$
$$x_{2} = 0.701562118716$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 + 5*x - 4.
$$-4 + 0^{2} + 0 \cdot 5$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$2 x + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{5}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-5/2, -41/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{5}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-5/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -5/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 5 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 + 5*x - 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 5 x - 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 5 x - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} + 5 x - 4 = x^{2} - 5 x - 4$$
- Нет
$$x^{2} + 5 x - 4 = - x^{2} - - 5 x + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной