График функции y = (-x)^4+8*x^2-16

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
           4      2     
f(x) = (-x)  + 8*x  - 16
$$f{\left (x \right )} = \left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.28718850581$$
$$x_{2} = -1.28718850581$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-x)^4 + 8*x^2 - 16.
$$-16 + \left(- 0\right)^{4} + 8 \cdot 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -16$$
Точка:
(0, -16)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} + 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -16)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(3 x^{2} + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x)^4 + 8*x^2 - 16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16 = x^{4} + 8 x^{2} - 16$$
- Нет
$$\left(- x\right)^{4} + 8 x^{2} - 16 = - x^{4} - 8 x^{2} + 16$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной