График функции y = log((x+3)/(x-1))+sqrt(1-sin(x))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

          /x + 3\     ____________
f(x) = log|-----| + \/ 1 - sin(x) 
          \x - 1/                 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )}$$

Область определения функции

[TeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -17.6224195881$$
$$x_{2} = -61.3548520388$$
$$x_{3} = -42.2742302981$$
$$x_{4} = -10.3725743272$$
$$x_{5} = -2335.77656081$$
$$x_{6} = -5.99791811607$$
$$x_{7} = -42.5478644709$$
$$x_{8} = -30.0405414404$$
$$x_{9} = -23.8112138006$$
$$x_{10} = -48.5756434186$$
$$x_{11} = -168.041338734$$
$$x_{12} = -67.6291936433$$
$$x_{13} = -86.3274778656$$
$$x_{14} = -55.082563599$$
$$x_{15} = -35.9661804771$$
$$x_{16} = -16.9196061883$$
$$x_{17} = -92.6152178591$$
$$x_{18} = -48.8131361579$$
$$x_{19} = -73.7496303016$$
$$x_{20} = -54.872770832$$
$$x_{21} = -80.0390116843$$
$$x_{22} = -161.756829139$$
$$x_{23} = -11.5454754848$$
$$x_{24} = -99.017897078$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log((x + 3)/(x - 1)) + sqrt(1 - sin(x)).
$$\sqrt{- \sin{\left (0 \right )} + 1} + \log{\left (\frac{3}{-1} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1 + \log{\left (3 \right )} + i \pi$$
Точка:

(0, 1 + pi*i + log(3))

Вертикальные асимптоты

[TeX]

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log((x + 3)/(x - 1)) + sqrt(1 - sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )} = \sqrt{\sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{- x + 3}{- x - 1} \right )}$$
- Нет
$$\sqrt{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \log{\left (\frac{x + 3}{x - 1} \right )} = - \sqrt{\sin{\left (x \right )} + 1} - \log{\left (\frac{- x + 3}{- x - 1} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной