График функции y = -6*x^2-8*x+10

Вы ввели

            2           
f(x) = - 6*x  - 8*x + 10

$$f{\left(x \right)} = \left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{19}}{3} - \frac{2}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.11963298118022$$
$$x_{2} = 0.786299647846891$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -6*x^2 - 8*x + 10.
$$\left(- 6 \cdot 0^{2} - 0\right) + 10$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 10$$
Точка:

(0, 10)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 12 x - 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2/3, 38/3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$-12 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -6*x^2 - 8*x + 10, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10 = - 6 x^{2} + 8 x + 10$$
- Нет
$$\left(- 6 x^{2} - 8 x\right) + 10 = 6 x^{2} - 8 x - 10$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График