График функции y = (x^3+|x^5-x^3|)/sqrt(1+x^6)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3   | 5    3|
       x  + |x  - x |
f(x) = --------------
           ________  
          /      6   
        \/  1 + x    
f(x)=x3+x5x3x6+1f{\left (x \right )} = \frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}
График функции
-4.0-3.0-2.0-1.00.01.02.03.04.0-2020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3+x5x3x6+1=0\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = - \sqrt{2}
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=1.41421356237x_{2} = -1.41421356237
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 + |x^5 - x^3|)/sqrt(1 + x^6).
03+05006+1\frac{0^{3} + \left|{0^{5} - 0}\right|}{\sqrt{0^{6} + 1}}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3x5(x6+1)32(x3+x5x3)+1x6+1(3x2+(5x43x2)sign(x5x3))=0- \frac{3 x^{5}}{\left(x^{6} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|\right) + \frac{1}{\sqrt{x^{6} + 1}} \left(3 x^{2} + \left(5 x^{4} - 3 x^{2}\right) \operatorname{sign}{\left (x^{5} - x^{3} \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=0.95763909822x_{2} = 0.95763909822
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(0.95763909822, 0.71459752740407)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x2=0.95763909822x_{2} = 0.95763909822
Убывает на промежутках
(-oo, 0.95763909822]

Возрастает на промежутках
[0.95763909822, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3+x5x3x6+1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3+x5x3x6+1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 + |x^5 - x^3|)/sqrt(1 + x^6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x3+x5x3xx6+1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{x \sqrt{x^{6} + 1}}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x3+x5x3xx6+1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{x \sqrt{x^{6} + 1}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3+x5x3x6+1=x3+x5x3x6+1\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}} = \frac{- x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}
- Нет
x3+x5x3x6+1=x3+x5x3x6+1\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}} = - \frac{- x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной