3 | 5 3|
x + |x - x |
f(x) = --------------
________
/ 6
\/ 1 + x
f(x)=x6+1x3+x5−x3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x6+1x3+x5−x3=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=−2 Численное решение x1=0 x2=−1.41421356237
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x^3 + |x^5 - x^3|)/sqrt(1 + x^6). 06+103+05−0 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −(x6+1)233x5(x3+x5−x3)+x6+11(3x2+(5x4−3x2)sign(x5−x3))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=0.95763909822 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
(0.95763909822, 0.71459752740407)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x2=0.95763909822 Убывает на промежутках
(-oo, 0.95763909822]
Возрастает на промежутках
[0.95763909822, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x6+1x3+x5−x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x6+1x3+x5−x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 + |x^5 - x^3|)/sqrt(1 + x^6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx6+1x3+x5−x3)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(xx6+1x3+x5−x3)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x6+1x3+x5−x3=x6+1−x3+x5−x3 - Нет x6+1x3+x5−x3=−x6+1−x3+x5−x3 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной