График функции y = (x^3+|x^5-x^3|)/sqrt(1+x^6)

        3   | 5    3|
       x  + |x  - x |
f(x) = --------------
           ________  
          /      6   
        \/  1 + x    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.41421356237$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 + |x^5 - x^3|)/sqrt(1 + x^6).
$$\frac{0^{3} + \left|{0^{5} - 0}\right|}{\sqrt{0^{6} + 1}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3 x^{5}}{\left(x^{6} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|\right) + \frac{1}{\sqrt{x^{6} + 1}} \left(3 x^{2} + \left(5 x^{4} - 3 x^{2}\right) \operatorname{sign}{\left (x^{5} - x^{3} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.95763909822$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(0.95763909822, 0.71459752740407)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0.95763909822$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0.95763909822]

Возрастает на промежутках

[0.95763909822, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 + |x^5 - x^3|)/sqrt(1 + x^6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{x \sqrt{x^{6} + 1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{x \sqrt{x^{6} + 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}} = \frac{- x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}} = - \frac{- x^{3} + \left|{x^{5} - x^{3}}\right|}{\sqrt{x^{6} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной