График функции y = x^(1/6)/1+x^(1/3)

Вы ввели

       6 ___        
       \/ x    3 ___
f(x) = ----- + \/ x 
         1          

6 ___ \/ x 3 ___ f(x) = ----- + \/ x 1

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:

6 ___            
\/ x    3 ___    
----- + \/ x  = 0
  1              

Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/6)/1 + x^(1/3).

6 ___        
\/ 0    3 ___
----- + \/ 0 
  1          

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{1}{36} \left(\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{11}{6}}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

      /6 ___        \            
      |\/ x    3 ___|      3 ____
 lim  |----- + \/ x | = oo*\/ -1 
x->-oo\  1          /            

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$

     /6 ___        \     
     |\/ x    3 ___|     
 lim |----- + \/ x | = oo
x->oo\  1          /     

Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/6)/1 + x^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

      6 ___            
      \/ x    3 ___    
      ----- + \/ x     
        1              
 lim  ------------- = 0
x->-oo      x          

Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа

     6 ___            
     \/ x    3 ___    
     ----- + \/ x     
       1              
 lim ------------- = 0
x->oo      x          

Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:

6 ___                          
\/ x    3 ___   3 ____   6 ____
----- + \/ x  = \/ -x  + \/ -x 
  1                            

- Нет

6 ___                            
\/ x    3 ___     3 ____   6 ____
----- + \/ x  = - \/ -x  - \/ -x 
  1                              

- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной