График функции y = (x^2+4)*(x+1)/-1-x

Вы ввели

       / 2    \            
       \x  + 4/*(x + 1)    
f(x) = ---------------- - x
              -1           

$$f{\left(x \right)} = - x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{65}{2} + \frac{3 \sqrt{1689}}{2}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{65}{2} + \frac{3 \sqrt{1689}}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.823907173247975$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x^2 + 4)*(x + 1))/(-1) - x.
$$\frac{0^{2} + 4}{-1} - 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{2} - 2 x \left(x + 1\right) - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \left(3 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{3}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x^2 + 4)*(x + 1))/(-1) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1} = x - \left(1 - x\right) \left(x^{2} + 4\right)$$
- Нет
$$- x + \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{-1} = - x + \left(1 - x\right) \left(x^{2} + 4\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График