График функции y = (x^2+4)*(x+1)/-1-x
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
/ 2 \
\x + 4/*(x + 1)
f(x) = ---------------- - x
-1
$$f{\left (x \right )} = - x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{65}{2} + \frac{3 \sqrt{1689}}{2}} - \frac{1}{3} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{65}{2} + \frac{3 \sqrt{1689}}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.823907173248$$
значит надо решить уравнение:
$$- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{65}{2} + \frac{3 \sqrt{1689}}{2}} - \frac{1}{3} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{65}{2} + \frac{3 \sqrt{1689}}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.823907173248$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x^2 + 4)*(x + 1))/(-1) - x.
$$\frac{1}{-1} \left(0^{2} + 4\right) - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -4$$
Точка:
подставляем x = 0 в ((x^2 + 4)*(x + 1))/(-1) - x.
$$\frac{1}{-1} \left(0^{2} + 4\right) - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -4$$
Точка:
(0, -4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- x^{2} - 2 x \left(x + 1\right) - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- x^{2} - 2 x \left(x + 1\right) - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \left(3 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \left(3 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -1/3]
Выпуклая на промежутках
[-1/3, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x^2 + 4)*(x + 1))/(-1) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right) = x - \left(- x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)$$
- Нет
$$- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right) = - x - - \left(- x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right) = x - \left(- x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)$$
- Нет
$$- x + \frac{1}{-1} \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right) = - x - - \left(- x + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной