График функции y = 2*x^3-9*x^2+12*x+7

Вы ввели

          3      2           
f(x) = 2*x  - 9*x  + 12*x + 7

$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{2} + \frac{621}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{2} + \frac{621}{8}}} + \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.43080953936036$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 - 9*x^2 + 12*x + 7.
$$2 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 7$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 7$$
Точка:

(0, 7)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 12)

(2, 11)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, 2\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$6 \cdot \left(2 x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 - 9*x^2 + 12*x + 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7 = - 2 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 7$$
- Нет
$$2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 7 = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 7$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График