График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x3+6x2+9x+4=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−4 x2=−1 Численное решение x1=−1 x2=−4
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3 + 6*x^2 + 9*x + 4. 03+6⋅02+9⋅0+4 Результат: f(0)=4 Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 3x2+12x+9=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−3 x2=−1 Зн. экстремумы в точках:
(-3, 4)
(-1, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=−1 Максимумы функции в точках: x1=−3 Убывает на промежутках (−∞,−3]∪[−1,∞) Возрастает на промежутках [−3,−1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 6(x+2)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [−2,∞) Выпуклая на промежутках (−∞,−2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x3+6x2+9x+4)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x3+6x2+9x+4)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 6*x^2 + 9*x + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx3+6x2+9x+4)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(xx3+6x2+9x+4)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x3+6x2+9x+4=−x3+6x2−9x+4 - Нет x3+6x2+9x+4=x3−6x2+9x−4 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной