График функции y = x^3+6*x^2+9*x+4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      2          
f(x) = x  + 6*x  + 9*x + 4
f(x)=x3+6x2+9x+4f{\left(x \right)} = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4
График функции
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3+6x2+9x+4=0x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=4x_{1} = -4
x2=1x_{2} = -1
Численное решение
x1=1x_{1} = -1
x2=4x_{2} = -4
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 6*x^2 + 9*x + 4.
03+602+90+40^{3} + 6 \cdot 0^{2} + 9 \cdot 0 + 4
Результат:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x2+12x+9=03 x^{2} + 12 x + 9 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = -1
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 4)

(-1, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = -1
Максимумы функции в точках:
x1=3x_{1} = -3
Убывает на промежутках
(,3][1,)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[-1, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[3,1]\left[-3, -1\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6(x+2)=06 \left(x + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2,)\left[-2, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,2]\left(-\infty, -2\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3+6x2+9x+4)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3+6x2+9x+4)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 6*x^2 + 9*x + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x3+6x2+9x+4x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x3+6x2+9x+4x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3+6x2+9x+4=x3+6x29x+4x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4 = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 4
- Нет
x3+6x2+9x+4=x36x2+9x4x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4 = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3+6*x^2+9*x+4 /media/krcore-image-pods/hash/xy/d/98/b3d2fa9f6d06d7dc96869d7d99edb.png