График функции y = x^3+6*x^2+9*x+4

Вы ввели

        3      2          
f(x) = x  + 6*x  + 9*x + 4

$$f{\left (x \right )} = 9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 6*x^2 + 9*x + 4.
$$0^{3} + 6 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 9 + 4$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, 4)

(-1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3] U [-1, oo)

Возрастает на промежутках

[-3, -1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 6*x^2 + 9*x + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4 = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 4$$
- Нет
$$9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 4 = - -1 x^{3} - 6 x^{2} - - 9 x - 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной