График функции y = log(x^2+3*x+2)

Вы ввели

          / 2          \
f(x) = log\x  + 3*x + 2/

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.381966011250105$$
$$x_{2} = -2.61803398874989$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x^2 + 3*x + 2).
$$\log{\left(0^{2} + 3 \cdot 0 + 2 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)}$$
Точка:

(0, log(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3/2, -log(4) + pi*I)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{- \frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 3 x + 2} + 2}{x^{2} + 3 x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x^2 + 3*x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)} = \log{\left(x^{2} - 3 x + 2 \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(x^{2} + 3 x + 2 \right)} = - \log{\left(x^{2} - 3 x + 2 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График