График функции пересекает ось Y при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\sqrt{- y^{2} + 2} = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью Y:
Аналитическое решение $$y_{1} = - \sqrt{2}$$ $$y_{2} = \sqrt{2}$$ Численное решение $$y_{1} = -1.4142135623731$$ $$y_{2} = 1.4142135623731$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда y равняется 0: подставляем y = 0 в sqrt(2 - y^2). $$\sqrt{- 0 + 2}$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = \sqrt{2}$$ Точка:
(0, sqrt(2))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$ Первая производная $$- \frac{y}{\sqrt{- y^{2} + 2}} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$y_{1} = 0$$ Зн. экстремумы в точках:
___
(0, \/ 2 )
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: $$y_{1} = 0$$ Убывает на промежутках
(-oo, 0]
Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$ Вторая производная $$- \frac{\frac{y^{2}}{- y^{2} + 2} + 1}{\sqrt{- y^{2} + 2}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo $$\lim_{y \to -\infty} \sqrt{- y^{2} + 2} = \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = \infty i$$ $$\lim_{y \to \infty} \sqrt{- y^{2} + 2} = \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: $$y = \infty i$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(2 - y^2), делённой на y при y->+oo и y ->-oo $$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \sqrt{- y^{2} + 2}\right) = - i$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = - i y$$ $$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \sqrt{- y^{2} + 2}\right) = i$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: $$y = i y$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y). Итак, проверяем: $$\sqrt{- y^{2} + 2} = \sqrt{- y^{2} + 2}$$ - Да $$\sqrt{- y^{2} + 2} = - \sqrt{- y^{2} + 2}$$ - Нет значит, функция является чётной