График функции y = sqrt(2-y^2)

Вы ввели

          ________
         /      2 
f(y) = \/  2 - y  

$$f{\left (y \right )} = \sqrt{- y^{2} + 2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{- y^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = - \sqrt{2}$$
$$y_{2} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$y_{1} = -1.4142135623731$$
$$y_{2} = 1.4142135623731$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в sqrt(2 - y^2).
$$\sqrt{- 0 + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt{2}$$
Точка:

(0, sqrt(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{y}{\sqrt{- y^{2} + 2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

      ___ 
(0, \/ 2 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{\frac{y^{2}}{- y^{2} + 2} + 1}{\sqrt{- y^{2} + 2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt{- y^{2} + 2} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt{- y^{2} + 2} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(2 - y^2), делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \sqrt{- y^{2} + 2}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - i y$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \sqrt{- y^{2} + 2}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = i y$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{- y^{2} + 2} = \sqrt{- y^{2} + 2}$$
- Да
$$\sqrt{- y^{2} + 2} = - \sqrt{- y^{2} + 2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной