График функции y = 16*x^3-8*x^2+1
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
3 2 f(x) = 16*x - 8*x + 1
$$f{\left (x \right )} = 16 x^{3} - 8 x^{2} + 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$16 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{57}}{32} + \frac{23}{32}} - \frac{1}{12 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{57}}{32} + \frac{23}{32}}} + \frac{1}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.282598858692$$
значит надо решить уравнение:
$$16 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{57}}{32} + \frac{23}{32}} - \frac{1}{12 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{57}}{32} + \frac{23}{32}}} + \frac{1}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.282598858692$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 16*x^3 - 8*x^2 + 1.
$$16 \cdot 0^{3} - 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
подставляем x = 0 в 16*x^3 - 8*x^2 + 1.
$$16 \cdot 0^{3} - 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$48 x^{2} - 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$48 x^{2} - 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
19
(1/3, --)
27 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [1/3, oo)
Возрастает на промежутках
[0, 1/3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$16 \left(6 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$16 \left(6 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/6, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/6]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 16*x^3 - 8*x^2 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$16 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 1$$
- Нет
$$16 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = - -1 \cdot 16 x^{3} - - 8 x^{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$16 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 1$$
- Нет
$$16 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = - -1 \cdot 16 x^{3} - - 8 x^{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной