График функции y = 16*x^3-8*x^2+1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           3      2    
f(x) = 16*x  - 8*x  + 1
f(x)=16x38x2+1f{\left (x \right )} = 16 x^{3} - 8 x^{2} + 1
График функции
-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0-2525
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
16x38x2+1=016 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1335732+2332311235732+23323+16x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{57}}{32} + \frac{23}{32}} - \frac{1}{12 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{57}}{32} + \frac{23}{32}}} + \frac{1}{6}
Численное решение
x1=0.282598858692x_{1} = -0.282598858692
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 16*x^3 - 8*x^2 + 1.
16030+116 \cdot 0^{3} - 0 + 1
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
48x216x=048 x^{2} - 16 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=13x_{2} = \frac{1}{3}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

      19 
(1/3, --)
      27 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=13x_{2} = \frac{1}{3}
Максимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [1/3, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 1/3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
16(6x1)=016 \left(6 x - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=16x_{1} = \frac{1}{6}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/6, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/6]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(16x38x2+1)=\lim_{x \to -\infty}\left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(16x38x2+1)=\lim_{x \to \infty}\left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 16*x^3 - 8*x^2 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(16x38x2+1))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(16x38x2+1))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(16 x^{3} - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
16x38x2+1=16x38x2+116 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 1
- Нет
16x38x2+1=116x38x2116 x^{3} - 8 x^{2} + 1 = - -1 \cdot 16 x^{3} - - 8 x^{2} - 1
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной