График функции y = (x^2+8*x+16)/(x+4)-(3*x-x^2)/x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2                     2
       x  + 8*x + 16   3*x - x 
f(x) = ------------- - --------
           x + 4          x    
f(x)=x2+8x+16x+41x(x2+3x)f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)
График функции
02468-8-6-4-2-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=4x_{1} = -4
x2=0x_{2} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+8x+16x+41x(x2+3x)=0\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}
Численное решение
x1=0.5x_{1} = -0.5
x2=4x_{2} = -4
x3=0x_{3} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x.
~(030)+14(02+08+16)- \tilde{\infty} \left(0 \cdot 3 - 0\right) + \frac{1}{4} \left(0^{2} + 0 \cdot 8 + 16\right)
Результат:
f(0)=NaNf{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x+8x+4x2+8x+16(x+4)21x(2x+3)+1x2(x2+3x)=0\frac{2 x + 8}{x + 4} - \frac{x^{2} + 8 x + 16}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{1}{x} \left(- 2 x + 3\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(- x^{2} + 3 x\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=4x_{1} = -4
x2=0x_{2} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2+8x+16x+41x(x2+3x))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2+8x+16x+41x(x2+3x))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x2+8x+16x+41x(x2+3x)))=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right)\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=2xy = 2 x
limx(1x(x2+8x+16x+41x(x2+3x)))=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right)\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=2xy = 2 x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+8x+16x+41x(x2+3x)=x28x+16x+4+1x(x23x)\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x + 4} + \frac{1}{x} \left(- x^{2} - 3 x\right)
- Нет
x2+8x+16x+41x(x2+3x)=x28x+16x+41x(x23x)\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = - \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} - 3 x\right)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной