Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−4
x2=0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+4x2+8x+16−x1(−x2+3x)=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=−21
Численное решение
x1=−0.5
x2=−4
x3=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x.
−∞~(0⋅3−0)+41(02+0⋅8+16)
Результат:
f(0)=NaN
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
Первая производная
x+42x+8−(x+4)2x2+8x+16−x1(−2x+3)+x21(−x2+3x)=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−4
x2=0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(x+4x2+8x+16−x1(−x2+3x))=−∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
x→∞lim(x+4x2+8x+16−x1(−x2+3x))=∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(x1(x+4x2+8x+16−x1(−x2+3x)))=2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=2x
x→∞lim(x1(x+4x2+8x+16−x1(−x2+3x)))=2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=2x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+4x2+8x+16−x1(−x2+3x)=−x+4x2−8x+16+x1(−x2−3x)
- Нет
x+4x2+8x+16−x1(−x2+3x)=−−x+4x2−8x+16−x1(−x2−3x)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной