График функции y = (x^2+8*x+16)/(x+4)-(3*x-x^2)/x

Вы ввели

        2                     2
       x  + 8*x + 16   3*x - x 
f(x) = ------------- - --------
           x + 4          x    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x.
$$- \tilde{\infty} \left(0 \cdot 3 - 0\right) + \frac{1}{4} \left(0^{2} + 0 \cdot 8 + 16\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x + 8}{x + 4} - \frac{x^{2} + 8 x + 16}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{1}{x} \left(- 2 x + 3\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(- x^{2} + 3 x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x + 4} + \frac{1}{x} \left(- x^{2} - 3 x\right)$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = - \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} - 3 x\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной