Точки, в которых функция точно неопределена: $$x_{1} = -4$$ $$x_{2} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$ Численное решение $$x_{1} = -0.5$$ $$x_{2} = -4$$ $$x_{3} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x. $$- \tilde{\infty} \left(0 \cdot 3 - 0\right) + \frac{1}{4} \left(0^{2} + 0 \cdot 8 + 16\right)$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$ - решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\frac{2 x + 8}{x + 4} - \frac{x^{2} + 8 x + 16}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{1}{x} \left(- 2 x + 3\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(- x^{2} + 3 x\right) = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: $$x_{1} = -4$$ $$x_{2} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8*x + 16)/(x + 4) - (3*x - x^2)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right)\right) = 2$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = 2 x$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right)\right)\right) = 2$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: $$y = 2 x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x + 4} + \frac{1}{x} \left(- x^{2} - 3 x\right)$$ - Нет $$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3 x\right) = - \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x + 4} - \frac{1}{x} \left(- x^{2} - 3 x\right)$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной