График функции y = (-cos(x))*cos(5*x)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = -cos(x)*cos(5*x)
$$f{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -83.8805238508$$
$$x_{2} = -61.8893752757$$
$$x_{3} = 70.0575161751$$
$$x_{4} = 88.2787535659$$
$$x_{5} = 42.4115007836$$
$$x_{6} = -73.8274272837$$
$$x_{7} = -51.8362786978$$
$$x_{8} = -27.9601746169$$
$$x_{9} = 78.2256570744$$
$$x_{10} = 32.358404332$$
$$x_{11} = -75.7123829515$$
$$x_{12} = -38.0132711084$$
$$x_{13} = 54.3495529071$$
$$x_{14} = 100.21680565$$
$$x_{15} = 81.9955682587$$
$$x_{16} = 12.252211349$$
$$x_{17} = -97.7035315266$$
$$x_{18} = 95.818575945$$
$$x_{19} = -29.8451301142$$
$$x_{20} = 22.3053078405$$
$$x_{21} = 39.2699081498$$
$$x_{22} = 29.8451302545$$
$$x_{23} = -80.1106126089$$
$$x_{24} = -55.6061899685$$
$$x_{25} = -43.6681378849$$
$$x_{26} = -58.1194640341$$
$$x_{27} = 5.96902604182$$
$$x_{28} = 73.8274273864$$
$$x_{29} = -39.8982267006$$
$$x_{30} = 86.3937979238$$
$$x_{31} = -17.9070781255$$
$$x_{32} = -71.9424717672$$
$$x_{33} = 2.19911485751$$
$$x_{34} = 61.8893752757$$
$$x_{35} = -36.1283154602$$
$$x_{36} = 20.4203522182$$
$$x_{37} = -48.0663675999$$
$$x_{38} = 64.4026493525$$
$$x_{39} = -53.7212343764$$
$$x_{40} = -11.6238928183$$
$$x_{41} = -9.73893722613$$
$$x_{42} = 17.9070781255$$
$$x_{43} = 7.85398168447$$
$$x_{44} = 48.0663675999$$
$$x_{45} = 71.9424717672$$
$$x_{46} = -45.5530934329$$
$$x_{47} = 10.3672557568$$
$$x_{48} = -89.5353904623$$
$$x_{49} = -16.0221225333$$
$$x_{50} = -60.0044196836$$
$$x_{51} = -33.6150413934$$
$$x_{52} = 92.0486647502$$
$$x_{53} = 58.7477826221$$
$$x_{54} = 24.1902634326$$
$$x_{55} = 4.08407044967$$
$$x_{56} = -7.85398154718$$
$$x_{57} = 76.3407014822$$
$$x_{58} = 66.2876049907$$
$$x_{59} = -63.7743308679$$
$$x_{60} = 90.163709158$$
$$x_{61} = 93.9336203423$$
$$x_{62} = -19.7920337176$$
$$x_{63} = -1.57079634218$$
$$x_{64} = 46.1814120078$$
$$x_{65} = 44.2964564156$$
$$x_{66} = 51.8362788222$$
$$x_{67} = -70.0575161751$$
$$x_{68} = -21.6769893098$$
$$x_{69} = 34.2433599241$$
$$x_{70} = 27.9601746169$$
$$x_{71} = -31.7300858013$$
$$x_{72} = 60.0044196836$$
$$x_{73} = -49.9513231921$$
$$x_{74} = 83.8805238508$$
$$x_{75} = 56.2345084993$$
$$x_{76} = -77.5973385437$$
$$x_{77} = -4.08407044967$$
$$x_{78} = -67.5442419493$$
$$x_{79} = -5.96902604182$$
$$x_{80} = -65.65928646$$
$$x_{81} = -93.9336203423$$
$$x_{82} = -23.5619448943$$
$$x_{83} = 49.9513231921$$
$$x_{84} = 68.1725605829$$
$$x_{85} = -14.1371668872$$
$$x_{86} = 16.0221225333$$
$$x_{87} = 0.314159265359$$
$$x_{88} = -87.6504350352$$
$$x_{89} = -41.7831822927$$
$$x_{90} = 26.0752190248$$
$$x_{91} = -92.0486647502$$
$$x_{92} = 98.3318500574$$
$$x_{93} = -81.9955682587$$
$$x_{94} = -85.765479443$$
$$x_{95} = -95.8185758696$$
$$x_{96} = 38.0132711084$$
$$x_{97} = 39.8982267006$$
значит надо решить уравнение:
$$- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -83.8805238508$$
$$x_{2} = -61.8893752757$$
$$x_{3} = 70.0575161751$$
$$x_{4} = 88.2787535659$$
$$x_{5} = 42.4115007836$$
$$x_{6} = -73.8274272837$$
$$x_{7} = -51.8362786978$$
$$x_{8} = -27.9601746169$$
$$x_{9} = 78.2256570744$$
$$x_{10} = 32.358404332$$
$$x_{11} = -75.7123829515$$
$$x_{12} = -38.0132711084$$
$$x_{13} = 54.3495529071$$
$$x_{14} = 100.21680565$$
$$x_{15} = 81.9955682587$$
$$x_{16} = 12.252211349$$
$$x_{17} = -97.7035315266$$
$$x_{18} = 95.818575945$$
$$x_{19} = -29.8451301142$$
$$x_{20} = 22.3053078405$$
$$x_{21} = 39.2699081498$$
$$x_{22} = 29.8451302545$$
$$x_{23} = -80.1106126089$$
$$x_{24} = -55.6061899685$$
$$x_{25} = -43.6681378849$$
$$x_{26} = -58.1194640341$$
$$x_{27} = 5.96902604182$$
$$x_{28} = 73.8274273864$$
$$x_{29} = -39.8982267006$$
$$x_{30} = 86.3937979238$$
$$x_{31} = -17.9070781255$$
$$x_{32} = -71.9424717672$$
$$x_{33} = 2.19911485751$$
$$x_{34} = 61.8893752757$$
$$x_{35} = -36.1283154602$$
$$x_{36} = 20.4203522182$$
$$x_{37} = -48.0663675999$$
$$x_{38} = 64.4026493525$$
$$x_{39} = -53.7212343764$$
$$x_{40} = -11.6238928183$$
$$x_{41} = -9.73893722613$$
$$x_{42} = 17.9070781255$$
$$x_{43} = 7.85398168447$$
$$x_{44} = 48.0663675999$$
$$x_{45} = 71.9424717672$$
$$x_{46} = -45.5530934329$$
$$x_{47} = 10.3672557568$$
$$x_{48} = -89.5353904623$$
$$x_{49} = -16.0221225333$$
$$x_{50} = -60.0044196836$$
$$x_{51} = -33.6150413934$$
$$x_{52} = 92.0486647502$$
$$x_{53} = 58.7477826221$$
$$x_{54} = 24.1902634326$$
$$x_{55} = 4.08407044967$$
$$x_{56} = -7.85398154718$$
$$x_{57} = 76.3407014822$$
$$x_{58} = 66.2876049907$$
$$x_{59} = -63.7743308679$$
$$x_{60} = 90.163709158$$
$$x_{61} = 93.9336203423$$
$$x_{62} = -19.7920337176$$
$$x_{63} = -1.57079634218$$
$$x_{64} = 46.1814120078$$
$$x_{65} = 44.2964564156$$
$$x_{66} = 51.8362788222$$
$$x_{67} = -70.0575161751$$
$$x_{68} = -21.6769893098$$
$$x_{69} = 34.2433599241$$
$$x_{70} = 27.9601746169$$
$$x_{71} = -31.7300858013$$
$$x_{72} = 60.0044196836$$
$$x_{73} = -49.9513231921$$
$$x_{74} = 83.8805238508$$
$$x_{75} = 56.2345084993$$
$$x_{76} = -77.5973385437$$
$$x_{77} = -4.08407044967$$
$$x_{78} = -67.5442419493$$
$$x_{79} = -5.96902604182$$
$$x_{80} = -65.65928646$$
$$x_{81} = -93.9336203423$$
$$x_{82} = -23.5619448943$$
$$x_{83} = 49.9513231921$$
$$x_{84} = 68.1725605829$$
$$x_{85} = -14.1371668872$$
$$x_{86} = 16.0221225333$$
$$x_{87} = 0.314159265359$$
$$x_{88} = -87.6504350352$$
$$x_{89} = -41.7831822927$$
$$x_{90} = 26.0752190248$$
$$x_{91} = -92.0486647502$$
$$x_{92} = 98.3318500574$$
$$x_{93} = -81.9955682587$$
$$x_{94} = -85.765479443$$
$$x_{95} = -95.8185758696$$
$$x_{96} = 38.0132711084$$
$$x_{97} = 39.8982267006$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-cos(x))*cos(5*x).
$$- \cos{\left (0 \right )} \cos{\left (0 \cdot 5 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
подставляем x = 0 в (-cos(x))*cos(5*x).
$$- \cos{\left (0 \right )} \cos{\left (0 \cdot 5 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\sin{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} + 5 \sin{\left (5 x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -71.6555702774$$
$$x_{2} = -93.6467188526$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = 10.0258387159$$
$$x_{5} = 92.2749008201$$
$$x_{6} = -3.74265340872$$
$$x_{7} = 74.2295098202$$
$$x_{8} = -85.9917155129$$
$$x_{9} = 99.9299041597$$
$$x_{10} = -39.6719906307$$
$$x_{11} = 30.2472126699$$
$$x_{12} = 36.1283155163$$
$$x_{13} = -77.9387555846$$
$$x_{14} = 80.1106126665$$
$$x_{15} = -20.0182697875$$
$$x_{16} = 62.2307923167$$
$$x_{17} = 64.0005669378$$
$$x_{18} = 14.1371669412$$
$$x_{19} = -5.68212455205$$
$$x_{20} = -83.6542877809$$
$$x_{21} = -89.9374730881$$
$$x_{22} = -51.8362787842$$
$$x_{23} = 97.9904330164$$
$$x_{24} = -69.7160991341$$
$$x_{25} = 11.9653098592$$
$$x_{26} = -49.6644217023$$
$$x_{27} = -75.9992844413$$
$$x_{28} = 8.25606409479$$
$$x_{29} = 43.9822971503$$
$$x_{30} = -11.9653098592$$
$$x_{31} = -10.0258387159$$
$$x_{32} = -7.85398163397$$
$$x_{33} = 75.9992844413$$
$$x_{34} = 33.9564584344$$
$$x_{35} = -23.9640273627$$
$$x_{36} = -57.7173816306$$
$$x_{37} = 55.9476070095$$
$$x_{38} = -1.97287878761$$
$$x_{39} = -17.6808420556$$
$$x_{40} = 87.9645943005$$
$$x_{41} = -27.6732731272$$
$$x_{42} = 26.3014550947$$
$$x_{43} = 38.3001725982$$
$$x_{44} = -32.016987291$$
$$x_{45} = 84.2219408918$$
$$x_{46} = -21.9911485751$$
$$x_{47} = -37.6991118431$$
$$x_{48} = 54.0081358662$$
$$x_{49} = 21.9911485751$$
$$x_{50} = -29.8451302091$$
$$x_{51} = 0$$
$$x_{52} = 4.31030651957$$
$$x_{53} = 82.2824697485$$
$$x_{54} = -79.7085302057$$
$$x_{55} = 60.2913211733$$
$$x_{56} = -55.9476070095$$
$$x_{57} = 50.2654824574$$
$$x_{58} = -59.6902604182$$
$$x_{59} = 28.2743338823$$
$$x_{60} = -43.9822971503$$
$$x_{61} = -81.6814089933$$
$$x_{62} = 16.3090240231$$
$$x_{63} = 72.2566310326$$
$$x_{64} = -65.9734457254$$
$$x_{65} = -54.0081358662$$
$$x_{66} = 40.2396437415$$
$$x_{67} = -73.8274273594$$
$$x_{68} = -61.6631392058$$
$$x_{69} = -99.9299041597$$
$$x_{70} = -35.7262330555$$
$$x_{71} = 70.283752245$$
$$x_{72} = 32.016987291$$
$$x_{73} = 94.2477796077$$
$$x_{74} = 96.2206583953$$
$$x_{75} = 89.9374730881$$
$$x_{76} = -97.9904330164$$
$$x_{77} = -15.7079632679$$
$$x_{78} = 42.0094183626$$
$$x_{79} = 48.2926036698$$
$$x_{80} = -33.9564584344$$
$$x_{81} = -47.724950559$$
$$x_{82} = 65.9734457254$$
$$x_{83} = 85.9917155129$$
$$x_{84} = -13.7350844803$$
$$x_{85} = 52.238361245$$
$$x_{86} = 67.946324513$$
$$x_{87} = 58.1194640914$$
$$x_{88} = 18.2484951664$$
$$x_{89} = 1.97287878761$$
$$x_{90} = 77.9387555846$$
$$x_{91} = -42.0094183626$$
$$x_{92} = -91.7072477092$$
$$x_{93} = 6.28318530718$$
$$x_{94} = -67.946324513$$
$$x_{95} = -87.9645943005$$
$$x_{96} = 45.9551759379$$
$$x_{97} = 20.0182697875$$
$$x_{98} = -25.7338019838$$
$$x_{99} = -45.9551759379$$
$$x_{100} = -64.0005669378$$
$$x_{101} = 23.9640273627$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{101} = 92.2749008201$$
$$x_{101} = 74.2295098202$$
$$x_{101} = -85.9917155129$$
$$x_{101} = -39.6719906307$$
$$x_{101} = 30.2472126699$$
$$x_{101} = -20.0182697875$$
$$x_{101} = 64.0005669378$$
$$x_{101} = -83.6542877809$$
$$x_{101} = -89.9374730881$$
$$x_{101} = 8.25606409479$$
$$x_{101} = 43.9822971503$$
$$x_{101} = -23.9640273627$$
$$x_{101} = -57.7173816306$$
$$x_{101} = -1.97287878761$$
$$x_{101} = -17.6808420556$$
$$x_{101} = 87.9645943005$$
$$x_{101} = 26.3014550947$$
$$x_{101} = -21.9911485751$$
$$x_{101} = -37.6991118431$$
$$x_{101} = 21.9911485751$$
$$x_{101} = 0$$
$$x_{101} = 4.31030651957$$
$$x_{101} = -79.7085302057$$
$$x_{101} = 50.2654824574$$
$$x_{101} = -59.6902604182$$
$$x_{101} = 28.2743338823$$
$$x_{101} = -43.9822971503$$
$$x_{101} = -81.6814089933$$
$$x_{101} = 72.2566310326$$
$$x_{101} = -65.9734457254$$
$$x_{101} = -61.6631392058$$
$$x_{101} = -35.7262330555$$
$$x_{101} = 70.283752245$$
$$x_{101} = 94.2477796077$$
$$x_{101} = 96.2206583953$$
$$x_{101} = 89.9374730881$$
$$x_{101} = -15.7079632679$$
$$x_{101} = 42.0094183626$$
$$x_{101} = 48.2926036698$$
$$x_{101} = 65.9734457254$$
$$x_{101} = 85.9917155129$$
$$x_{101} = -13.7350844803$$
$$x_{101} = 52.238361245$$
$$x_{101} = 67.946324513$$
$$x_{101} = 1.97287878761$$
$$x_{101} = -42.0094183626$$
$$x_{101} = 6.28318530718$$
$$x_{101} = -67.946324513$$
$$x_{101} = -87.9645943005$$
$$x_{101} = 45.9551759379$$
$$x_{101} = 20.0182697875$$
$$x_{101} = -45.9551759379$$
$$x_{101} = -64.0005669378$$
$$x_{101} = 23.9640273627$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{101} = -71.6555702774$$
$$x_{101} = -93.6467188526$$
$$x_{101} = -95.8185759345$$
$$x_{101} = 10.0258387159$$
$$x_{101} = -3.74265340872$$
$$x_{101} = 99.9299041597$$
$$x_{101} = 36.1283155163$$
$$x_{101} = -77.9387555846$$
$$x_{101} = 80.1106126665$$
$$x_{101} = 62.2307923167$$
$$x_{101} = 14.1371669412$$
$$x_{101} = -5.68212455205$$
$$x_{101} = -51.8362787842$$
$$x_{101} = 97.9904330164$$
$$x_{101} = -69.7160991341$$
$$x_{101} = 11.9653098592$$
$$x_{101} = -49.6644217023$$
$$x_{101} = -75.9992844413$$
$$x_{101} = -11.9653098592$$
$$x_{101} = -10.0258387159$$
$$x_{101} = -7.85398163397$$
$$x_{101} = 75.9992844413$$
$$x_{101} = 33.9564584344$$
$$x_{101} = 55.9476070095$$
$$x_{101} = -27.6732731272$$
$$x_{101} = 38.3001725982$$
$$x_{101} = -32.016987291$$
$$x_{101} = 84.2219408918$$
$$x_{101} = 54.0081358662$$
$$x_{101} = -29.8451302091$$
$$x_{101} = 82.2824697485$$
$$x_{101} = 60.2913211733$$
$$x_{101} = -55.9476070095$$
$$x_{101} = 16.3090240231$$
$$x_{101} = -54.0081358662$$
$$x_{101} = 40.2396437415$$
$$x_{101} = -73.8274273594$$
$$x_{101} = -99.9299041597$$
$$x_{101} = 32.016987291$$
$$x_{101} = -97.9904330164$$
$$x_{101} = -33.9564584344$$
$$x_{101} = -47.724950559$$
$$x_{101} = 58.1194640914$$
$$x_{101} = 18.2484951664$$
$$x_{101} = 77.9387555846$$
$$x_{101} = -91.7072477092$$
$$x_{101} = -25.7338019838$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\sin{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} + 5 \sin{\left (5 x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -71.6555702774$$
$$x_{2} = -93.6467188526$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = 10.0258387159$$
$$x_{5} = 92.2749008201$$
$$x_{6} = -3.74265340872$$
$$x_{7} = 74.2295098202$$
$$x_{8} = -85.9917155129$$
$$x_{9} = 99.9299041597$$
$$x_{10} = -39.6719906307$$
$$x_{11} = 30.2472126699$$
$$x_{12} = 36.1283155163$$
$$x_{13} = -77.9387555846$$
$$x_{14} = 80.1106126665$$
$$x_{15} = -20.0182697875$$
$$x_{16} = 62.2307923167$$
$$x_{17} = 64.0005669378$$
$$x_{18} = 14.1371669412$$
$$x_{19} = -5.68212455205$$
$$x_{20} = -83.6542877809$$
$$x_{21} = -89.9374730881$$
$$x_{22} = -51.8362787842$$
$$x_{23} = 97.9904330164$$
$$x_{24} = -69.7160991341$$
$$x_{25} = 11.9653098592$$
$$x_{26} = -49.6644217023$$
$$x_{27} = -75.9992844413$$
$$x_{28} = 8.25606409479$$
$$x_{29} = 43.9822971503$$
$$x_{30} = -11.9653098592$$
$$x_{31} = -10.0258387159$$
$$x_{32} = -7.85398163397$$
$$x_{33} = 75.9992844413$$
$$x_{34} = 33.9564584344$$
$$x_{35} = -23.9640273627$$
$$x_{36} = -57.7173816306$$
$$x_{37} = 55.9476070095$$
$$x_{38} = -1.97287878761$$
$$x_{39} = -17.6808420556$$
$$x_{40} = 87.9645943005$$
$$x_{41} = -27.6732731272$$
$$x_{42} = 26.3014550947$$
$$x_{43} = 38.3001725982$$
$$x_{44} = -32.016987291$$
$$x_{45} = 84.2219408918$$
$$x_{46} = -21.9911485751$$
$$x_{47} = -37.6991118431$$
$$x_{48} = 54.0081358662$$
$$x_{49} = 21.9911485751$$
$$x_{50} = -29.8451302091$$
$$x_{51} = 0$$
$$x_{52} = 4.31030651957$$
$$x_{53} = 82.2824697485$$
$$x_{54} = -79.7085302057$$
$$x_{55} = 60.2913211733$$
$$x_{56} = -55.9476070095$$
$$x_{57} = 50.2654824574$$
$$x_{58} = -59.6902604182$$
$$x_{59} = 28.2743338823$$
$$x_{60} = -43.9822971503$$
$$x_{61} = -81.6814089933$$
$$x_{62} = 16.3090240231$$
$$x_{63} = 72.2566310326$$
$$x_{64} = -65.9734457254$$
$$x_{65} = -54.0081358662$$
$$x_{66} = 40.2396437415$$
$$x_{67} = -73.8274273594$$
$$x_{68} = -61.6631392058$$
$$x_{69} = -99.9299041597$$
$$x_{70} = -35.7262330555$$
$$x_{71} = 70.283752245$$
$$x_{72} = 32.016987291$$
$$x_{73} = 94.2477796077$$
$$x_{74} = 96.2206583953$$
$$x_{75} = 89.9374730881$$
$$x_{76} = -97.9904330164$$
$$x_{77} = -15.7079632679$$
$$x_{78} = 42.0094183626$$
$$x_{79} = 48.2926036698$$
$$x_{80} = -33.9564584344$$
$$x_{81} = -47.724950559$$
$$x_{82} = 65.9734457254$$
$$x_{83} = 85.9917155129$$
$$x_{84} = -13.7350844803$$
$$x_{85} = 52.238361245$$
$$x_{86} = 67.946324513$$
$$x_{87} = 58.1194640914$$
$$x_{88} = 18.2484951664$$
$$x_{89} = 1.97287878761$$
$$x_{90} = 77.9387555846$$
$$x_{91} = -42.0094183626$$
$$x_{92} = -91.7072477092$$
$$x_{93} = 6.28318530718$$
$$x_{94} = -67.946324513$$
$$x_{95} = -87.9645943005$$
$$x_{96} = 45.9551759379$$
$$x_{97} = 20.0182697875$$
$$x_{98} = -25.7338019838$$
$$x_{99} = -45.9551759379$$
$$x_{100} = -64.0005669378$$
$$x_{101} = 23.9640273627$$
Зн. экстремумы в точках:
(-71.6555702774, 0.817088455586739)
(-93.6467188526, 0.81708845558674)
(-95.8185759345, -6.39727825033797e-22)
(10.0258387159, 0.817088455586737)
(92.2749008201, -0.354125492623776)
(-3.74265340872, 0.817088455586737)
(74.2295098202, -0.354125492623772)
(-85.9917155129, -0.354125492623772)
(99.9299041597, 0.817088455586735)
(-39.6719906307, -0.354125492623773)
(30.2472126699, -0.354125492623775)
(36.1283155163, -1.50987035263964e-21)
(-77.9387555846, 0.817088455586735)
(80.1106126665, -7.89007547709721e-21)
(-20.0182697875, -0.354125492623775)
(62.2307923167, 0.817088455586734)
(64.0005669378, -0.354125492623772)
(14.1371669412, -1.05484759088614e-20)
(-5.68212455205, 0.817088455586737)
(-83.6542877809, -0.354125492623774)
(-89.9374730881, -0.354125492623779)
(-51.8362787842, -4.98972383209749e-21)
(97.9904330164, 0.817088455586737)
(-69.7160991341, 0.817088455586734)
(11.9653098592, 0.817088455586737)
(-49.6644217023, 0.817088455586738)
(-75.9992844413, 0.817088455586737)
(8.25606409479, -0.354125492623774)
(43.9822971503, -1)
(-11.9653098592, 0.817088455586737)
(-10.0258387159, 0.817088455586737)
(-7.85398163397, -1.00495818792069e-22)
(75.9992844413, 0.817088455586737)
(33.9564584344, 0.817088455586738)
(-23.9640273627, -0.354125492623775)
(-57.7173816306, -0.354125492623776)
(55.9476070095, 0.817088455586738)
(-1.97287878761, -0.354125492623774)
(-17.6808420556, -0.354125492623775)
(87.9645943005, -1)
(-27.6732731272, 0.817088455586737)
(26.3014550947, -0.354125492623772)
(38.3001725982, 0.817088455586736)
(-32.016987291, 0.817088455586736)
(84.2219408918, 0.817088455586738)
(-21.9911485751, -1)
(-37.6991118431, -1)
(54.0081358662, 0.817088455586734)
(21.9911485751, -1)
(-29.8451302091, -4.60939679034216e-23)
(0, -1)
(4.31030651957, -0.354125492623774)
(82.2824697485, 0.81708845558674)
(-79.7085302057, -0.354125492623776)
(60.2913211733, 0.817088455586739)
(-55.9476070095, 0.817088455586738)
(50.2654824574, -1)
(-59.6902604182, -1)
(28.2743338823, -1)
(-43.9822971503, -1)
(-81.6814089933, -1)
(16.3090240231, 0.817088455586736)
(72.2566310326, -1)
(-65.9734457254, -1)
(-54.0081358662, 0.817088455586734)
(40.2396437415, 0.817088455586736)
(-73.8274273594, -7.94621856866359e-21)
(-61.6631392058, -0.354125492623778)
(-99.9299041597, 0.817088455586735)
(-35.7262330555, -0.354125492623776)
(70.283752245, -0.354125492623776)
(32.016987291, 0.817088455586736)
(94.2477796077, -1)
(96.2206583953, -0.354125492623774)
(89.9374730881, -0.354125492623779)
(-97.9904330164, 0.817088455586737)
(-15.7079632679, -1)
(42.0094183626, -0.354125492623774)
(48.2926036698, -0.354125492623774)
(-33.9564584344, 0.817088455586738)
(-47.724950559, 0.817088455586738)
(65.9734457254, -1)
(85.9917155129, -0.354125492623772)
(-13.7350844803, -0.354125492623775)
(52.238361245, -0.354125492623775)
(67.946324513, -0.354125492623776)
(58.1194640914, -6.24901394491486e-22)
(18.2484951664, 0.817088455586736)
(1.97287878761, -0.354125492623774)
(77.9387555846, 0.817088455586735)
(-42.0094183626, -0.354125492623774)
(-91.7072477092, 0.81708845558674)
(6.28318530718, -1)
(-67.946324513, -0.354125492623776)
(-87.9645943005, -1)
(45.9551759379, -0.354125492623773)
(20.0182697875, -0.354125492623775)
(-25.7338019838, 0.817088455586736)
(-45.9551759379, -0.354125492623773)
(-64.0005669378, -0.354125492623772)
(23.9640273627, -0.354125492623775)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{101} = 92.2749008201$$
$$x_{101} = 74.2295098202$$
$$x_{101} = -85.9917155129$$
$$x_{101} = -39.6719906307$$
$$x_{101} = 30.2472126699$$
$$x_{101} = -20.0182697875$$
$$x_{101} = 64.0005669378$$
$$x_{101} = -83.6542877809$$
$$x_{101} = -89.9374730881$$
$$x_{101} = 8.25606409479$$
$$x_{101} = 43.9822971503$$
$$x_{101} = -23.9640273627$$
$$x_{101} = -57.7173816306$$
$$x_{101} = -1.97287878761$$
$$x_{101} = -17.6808420556$$
$$x_{101} = 87.9645943005$$
$$x_{101} = 26.3014550947$$
$$x_{101} = -21.9911485751$$
$$x_{101} = -37.6991118431$$
$$x_{101} = 21.9911485751$$
$$x_{101} = 0$$
$$x_{101} = 4.31030651957$$
$$x_{101} = -79.7085302057$$
$$x_{101} = 50.2654824574$$
$$x_{101} = -59.6902604182$$
$$x_{101} = 28.2743338823$$
$$x_{101} = -43.9822971503$$
$$x_{101} = -81.6814089933$$
$$x_{101} = 72.2566310326$$
$$x_{101} = -65.9734457254$$
$$x_{101} = -61.6631392058$$
$$x_{101} = -35.7262330555$$
$$x_{101} = 70.283752245$$
$$x_{101} = 94.2477796077$$
$$x_{101} = 96.2206583953$$
$$x_{101} = 89.9374730881$$
$$x_{101} = -15.7079632679$$
$$x_{101} = 42.0094183626$$
$$x_{101} = 48.2926036698$$
$$x_{101} = 65.9734457254$$
$$x_{101} = 85.9917155129$$
$$x_{101} = -13.7350844803$$
$$x_{101} = 52.238361245$$
$$x_{101} = 67.946324513$$
$$x_{101} = 1.97287878761$$
$$x_{101} = -42.0094183626$$
$$x_{101} = 6.28318530718$$
$$x_{101} = -67.946324513$$
$$x_{101} = -87.9645943005$$
$$x_{101} = 45.9551759379$$
$$x_{101} = 20.0182697875$$
$$x_{101} = -45.9551759379$$
$$x_{101} = -64.0005669378$$
$$x_{101} = 23.9640273627$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{101} = -71.6555702774$$
$$x_{101} = -93.6467188526$$
$$x_{101} = -95.8185759345$$
$$x_{101} = 10.0258387159$$
$$x_{101} = -3.74265340872$$
$$x_{101} = 99.9299041597$$
$$x_{101} = 36.1283155163$$
$$x_{101} = -77.9387555846$$
$$x_{101} = 80.1106126665$$
$$x_{101} = 62.2307923167$$
$$x_{101} = 14.1371669412$$
$$x_{101} = -5.68212455205$$
$$x_{101} = -51.8362787842$$
$$x_{101} = 97.9904330164$$
$$x_{101} = -69.7160991341$$
$$x_{101} = 11.9653098592$$
$$x_{101} = -49.6644217023$$
$$x_{101} = -75.9992844413$$
$$x_{101} = -11.9653098592$$
$$x_{101} = -10.0258387159$$
$$x_{101} = -7.85398163397$$
$$x_{101} = 75.9992844413$$
$$x_{101} = 33.9564584344$$
$$x_{101} = 55.9476070095$$
$$x_{101} = -27.6732731272$$
$$x_{101} = 38.3001725982$$
$$x_{101} = -32.016987291$$
$$x_{101} = 84.2219408918$$
$$x_{101} = 54.0081358662$$
$$x_{101} = -29.8451302091$$
$$x_{101} = 82.2824697485$$
$$x_{101} = 60.2913211733$$
$$x_{101} = -55.9476070095$$
$$x_{101} = 16.3090240231$$
$$x_{101} = -54.0081358662$$
$$x_{101} = 40.2396437415$$
$$x_{101} = -73.8274273594$$
$$x_{101} = -99.9299041597$$
$$x_{101} = 32.016987291$$
$$x_{101} = -97.9904330164$$
$$x_{101} = -33.9564584344$$
$$x_{101} = -47.724950559$$
$$x_{101} = 58.1194640914$$
$$x_{101} = 18.2484951664$$
$$x_{101} = 77.9387555846$$
$$x_{101} = -91.7072477092$$
$$x_{101} = -25.7338019838$$
Убывает на промежутках
[96.2206583953, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -89.9374730881]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- 5 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (5 x \right )} + 13 \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -33.6988683432$$
$$x_{2} = -96.0306615985$$
$$x_{3} = 100.23976012$$
$$x_{4} = 49.9742776629$$
$$x_{5} = -69.9736892253$$
$$x_{6} = -65.6822409308$$
$$x_{7} = -27.9831290877$$
$$x_{8} = -53.6982799056$$
$$x_{9} = -81.9726137879$$
$$x_{10} = 69.9736892253$$
$$x_{11} = -39.9820536503$$
$$x_{12} = 98.2480231076$$
$$x_{13} = 78.2486115452$$
$$x_{14} = -99.6723140685$$
$$x_{15} = 15.9991680625$$
$$x_{16} = 17.9909050752$$
$$x_{17} = -41.699355343$$
$$x_{18} = 14.8493124216$$
$$x_{19} = -85.6816524933$$
$$x_{20} = 64.1905637345$$
$$x_{21} = 0.291204794564$$
$$x_{22} = -63.6905039181$$
$$x_{23} = -9.71598275533$$
$$x_{24} = 96.0306615985$$
$$x_{25} = -49.9742776629$$
$$x_{26} = 20.2082665843$$
$$x_{27} = -23.774030566$$
$$x_{28} = -37.9903166376$$
$$x_{29} = -77.6811654934$$
$$x_{30} = 56.2574629701$$
$$x_{31} = -17.9909050752$$
$$x_{32} = 30.0572158732$$
$$x_{33} = 46.2652389575$$
$$x_{34} = -57.9073784274$$
$$x_{35} = -35.9162298522$$
$$x_{36} = -45.7651791411$$
$$x_{37} = 44.2735019448$$
$$x_{38} = -67.7563277162$$
$$x_{39} = -55.6900169183$$
$$x_{40} = 2.28294180726$$
$$x_{41} = 79.8985270025$$
$$x_{42} = 62.5406482772$$
$$x_{43} = 71.965426238$$
$$x_{44} = -1.78288199086$$
$$x_{45} = -47.9825406502$$
$$x_{46} = 47.9825406502$$
$$x_{47} = -11.707719768$$
$$x_{48} = 54.2657259574$$
$$x_{49} = 52.0483644483$$
$$x_{50} = -74.0395130234$$
$$x_{51} = 61.9732022255$$
$$x_{52} = 74.0395130234$$
$$x_{53} = 83.9643508006$$
$$x_{54} = 25.9913920751$$
$$x_{55} = 37.9903166376$$
$$x_{56} = 66.2646505199$$
$$x_{57} = -31.7071313305$$
$$x_{58} = 39.9820536503$$
$$x_{59} = -89.7474762914$$
$$x_{60} = 5.99198051262$$
$$x_{61} = 59.9814652128$$
$$x_{62} = -93.9565748131$$
$$x_{63} = -91.9648378004$$
$$x_{64} = 93.9565748131$$
$$x_{65} = 4.00024349992$$
$$x_{66} = -21.6999437806$$
$$x_{67} = 34.2663143949$$
$$x_{68} = 86.1817123097$$
$$x_{69} = 10.2834288071$$
$$x_{70} = -30.0572158732$$
$$x_{71} = 12.2751658198$$
$$x_{72} = 91.9648378004$$
$$x_{73} = 68.2563875326$$
$$x_{74} = -83.9643508006$$
$$x_{75} = -4.00024349992$$
$$x_{76} = -15.9991680625$$
$$x_{77} = 76.2568745325$$
$$x_{78} = -87.673389506$$
$$x_{79} = -13.9250812771$$
$$x_{80} = 81.9726137879$$
$$x_{81} = -79.8985270025$$
$$x_{82} = 24.2740903824$$
$$x_{83} = -25.9913920751$$
$$x_{84} = -52.0483644483$$
$$x_{85} = -5.99198051262$$
$$x_{86} = 32.2745773822$$
$$x_{87} = 88.2557990951$$
$$x_{88} = 27.9831290877$$
$$x_{89} = -59.9814652128$$
$$x_{90} = 42.1994151594$$
$$x_{91} = -71.965426238$$
$$x_{92} = 8.06606729804$$
$$x_{93} = -61.9732022255$$
$$x_{94} = 90.2475361078$$
$$x_{95} = 22.2823533697$$
$$x_{96} = -19.7082067679$$
$$x_{97} = -43.6910923557$$
$$x_{98} = -97.6805770558$$
$$x_{99} = -75.6894284807$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- 5 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (5 x \right )} + 13 \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -33.6988683432$$
$$x_{2} = -96.0306615985$$
$$x_{3} = 100.23976012$$
$$x_{4} = 49.9742776629$$
$$x_{5} = -69.9736892253$$
$$x_{6} = -65.6822409308$$
$$x_{7} = -27.9831290877$$
$$x_{8} = -53.6982799056$$
$$x_{9} = -81.9726137879$$
$$x_{10} = 69.9736892253$$
$$x_{11} = -39.9820536503$$
$$x_{12} = 98.2480231076$$
$$x_{13} = 78.2486115452$$
$$x_{14} = -99.6723140685$$
$$x_{15} = 15.9991680625$$
$$x_{16} = 17.9909050752$$
$$x_{17} = -41.699355343$$
$$x_{18} = 14.8493124216$$
$$x_{19} = -85.6816524933$$
$$x_{20} = 64.1905637345$$
$$x_{21} = 0.291204794564$$
$$x_{22} = -63.6905039181$$
$$x_{23} = -9.71598275533$$
$$x_{24} = 96.0306615985$$
$$x_{25} = -49.9742776629$$
$$x_{26} = 20.2082665843$$
$$x_{27} = -23.774030566$$
$$x_{28} = -37.9903166376$$
$$x_{29} = -77.6811654934$$
$$x_{30} = 56.2574629701$$
$$x_{31} = -17.9909050752$$
$$x_{32} = 30.0572158732$$
$$x_{33} = 46.2652389575$$
$$x_{34} = -57.9073784274$$
$$x_{35} = -35.9162298522$$
$$x_{36} = -45.7651791411$$
$$x_{37} = 44.2735019448$$
$$x_{38} = -67.7563277162$$
$$x_{39} = -55.6900169183$$
$$x_{40} = 2.28294180726$$
$$x_{41} = 79.8985270025$$
$$x_{42} = 62.5406482772$$
$$x_{43} = 71.965426238$$
$$x_{44} = -1.78288199086$$
$$x_{45} = -47.9825406502$$
$$x_{46} = 47.9825406502$$
$$x_{47} = -11.707719768$$
$$x_{48} = 54.2657259574$$
$$x_{49} = 52.0483644483$$
$$x_{50} = -74.0395130234$$
$$x_{51} = 61.9732022255$$
$$x_{52} = 74.0395130234$$
$$x_{53} = 83.9643508006$$
$$x_{54} = 25.9913920751$$
$$x_{55} = 37.9903166376$$
$$x_{56} = 66.2646505199$$
$$x_{57} = -31.7071313305$$
$$x_{58} = 39.9820536503$$
$$x_{59} = -89.7474762914$$
$$x_{60} = 5.99198051262$$
$$x_{61} = 59.9814652128$$
$$x_{62} = -93.9565748131$$
$$x_{63} = -91.9648378004$$
$$x_{64} = 93.9565748131$$
$$x_{65} = 4.00024349992$$
$$x_{66} = -21.6999437806$$
$$x_{67} = 34.2663143949$$
$$x_{68} = 86.1817123097$$
$$x_{69} = 10.2834288071$$
$$x_{70} = -30.0572158732$$
$$x_{71} = 12.2751658198$$
$$x_{72} = 91.9648378004$$
$$x_{73} = 68.2563875326$$
$$x_{74} = -83.9643508006$$
$$x_{75} = -4.00024349992$$
$$x_{76} = -15.9991680625$$
$$x_{77} = 76.2568745325$$
$$x_{78} = -87.673389506$$
$$x_{79} = -13.9250812771$$
$$x_{80} = 81.9726137879$$
$$x_{81} = -79.8985270025$$
$$x_{82} = 24.2740903824$$
$$x_{83} = -25.9913920751$$
$$x_{84} = -52.0483644483$$
$$x_{85} = -5.99198051262$$
$$x_{86} = 32.2745773822$$
$$x_{87} = 88.2557990951$$
$$x_{88} = 27.9831290877$$
$$x_{89} = -59.9814652128$$
$$x_{90} = 42.1994151594$$
$$x_{91} = -71.965426238$$
$$x_{92} = 8.06606729804$$
$$x_{93} = -61.9732022255$$
$$x_{94} = 90.2475361078$$
$$x_{95} = 22.2823533697$$
$$x_{96} = -19.7082067679$$
$$x_{97} = -43.6910923557$$
$$x_{98} = -97.6805770558$$
$$x_{99} = -75.6894284807$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[100.23976012, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -99.6723140685]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-cos(x))*cos(5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} = - \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}$$
- Да
$$- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} = - -1 \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} = - \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}$$
- Да
$$- \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} = - -1 \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной