График функции y = 1/(log(x)-1)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
           1     
f(x) = ----------
       log(x) - 1
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\log{\left (x \right )} - 1}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\log{\left (x \right )} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(log(x) - 1).
$$\frac{1}{\log{\left (0 \right )} - 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{x \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )} - 1}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{-1}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2.71828182845905$$

$$\lim_{x \to 2.71828182845905^-}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )} - 1}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^+}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )} - 1}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, exp(-1)]

Выпуклая на промежутках
[exp(-1), oo)
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left (x \right )} - 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left (x \right )} - 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(log(x) - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\log{\left (x \right )} - 1} = \frac{1}{\log{\left (- x \right )} - 1}$$
- Нет
$$\frac{1}{\log{\left (x \right )} - 1} = - \frac{1}{\log{\left (- x \right )} - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной